Un teorema que da condiciones para que una subálgebra A de C(X) (funciones continuas reales o complejas sobre un espacio compacto de Hausdorff X) sea densa uniformemente en C(X): típicamente A debe contener las constantes y separar puntos, y en el caso complejo estar cerrada por conjugación compleja (una *‑subálgebra).

Principio

El cierre algebraico bajo suma y producto junto con la capacidad de separar puntos y la presencia de constantes obliga a la aproximación uniforme de funciones continuas en compactos.

Demostración

Los polinomios forman una subálgebra de C([a,b]) que contiene constantes y separa puntos, por lo que son densos uniformemente (Weierstrass clásico); los polinomios trigonométricos separan puntos en el círculo y son densos en C(S1).

Aplicación incorrecta

Asumir densidad cuando el álgebra no separa puntos, no tiene constantes o, en el caso complejo, no es cerrada por conjugación; aplicar la conclusión de compacidad a dominios no compactos sin reemplazar C(X) por C0(X) o sin condiciones de decaimiento.

Consecuencia

Proporciona una herramienta potente para aproximar funciones continuas por clases más simples (polinomios, combinaciones algebraicas, sumas trigonométricas), sosteniendo el cálculo funcional y argumentos constructivos de aproximación.

Inversión

Una subálgebra propia y cerrada puede existir cuando fallan la separación o la condición de constantes; la inversión del teorema revela obstrucciones como la no separación.

Límite

Requiere X compacto de Hausdorff y las hipótesis sobre A (constantes, separación, *‑cierre en el caso complejo); para X no compacto hay versiones para C0(X) con hipótesis adicionales o aproximaciones ponderadas.

Tensión semántica

Hay tensión entre el teorema clásico de Weierstrass (polinomios en un intervalo) y la generalización de Stone: ambos afirman densidad pero difieren en hipótesis y alcance; también debe evitarse confundir con la compactificación de Stone–Čech.

Síntesis

Stone–Weierstrass afirma que un álgebra de funciones continuas suficientemente rica algebraica y topológicamente (contiene constantes y separa puntos, con *‑cierre para funciones complejas) aproxima uniformemente cualquier función continua en un compacto, de modo que la aproximación resulta de propiedades algebraicas y de separación.