Inégalité indiquant que pour une fonction convexe φ et une variable aléatoire intégrable X (ou une fonction mesurable), la fonction convexe évaluée en l'espérance (ou moyenne intégrale) est au plus l'espérance de la fonction convexe : φ(E[X]) ≤ E[φ(X]).

Principe

Si φ est convexe sur un ensemble convexe et X est une fonction mesurable à valeurs dans cet ensemble, intégrable au sens où X et φ∘X ont des intégrales bien définies, alors φ(∫ X dμ) ≤ ∫ φ∘X dμ. En probabilités, φ(E[X]) ≤ E[φ(X)] ; pour φ concave l'inégalité s'inverse.

Démonstration

Exemple concret : prendre φ(t)=t^2 (convexe) et une loi de probabilité de moyenne m ; Jensen donne m^2 ≤ E[X^2], relation familière qui conduit à Var(X)=E[X^2]-m^2 ≥ 0 et montre la non-négativité de la variance.

Mauvaise application

Appliquer Jensen avec une φ non convexe ou sans assurer l'intégrabilité de φ∘X conduit à des conclusions erronées ; autre abus : considérer la convexité ponctuelle suffisante alors que le domaine ou la mesurabilité posent problème.

Conséquence

Jensen est un outil de base liant convexité et espérance, utilisé pour déduire bornes en probabilités, statistiques, analyse convexe et pour contrôler les transformations non linéaires sous opérations d'average.

Inversion

Pour une fonction concave ψ l'inégalité s'inverse : ψ(E[X]) ≥ E[ψ(X)]. On peut voir aussi la réciproque en changeant le signe de φ ou en utilisant des sous-gradients pour obtenir des minorations linéaires et des estimations inverses en cas particulier.

Limite

Exige que φ soit convexe sur le domaine pertinent et l'intégrabilité de X et de φ∘X ; s'applique aux espérances vis-à-vis de mesures de probabilité et aux intégrales sur des espaces de mesure finie, mais pas aux applications non mesurables ou aux φ présentant des singularités sur l'image de X.

Tension sémantique

La tension tient avec la linéarité de l'espérance : Jensen quantifie comment la non-linéarité (convexité) place la valeur de la fonction du moyen en dessous de la moyenne de la fonction ; des intuitions concurrentes sur « sortir la fonction d'une moyenne » sont précisément réglées par le signe de convexité.

Synthèse

L'inégalité de Jensen formalise l'effet des non-linéarités convexes (ou concaves) sur les moyennes : les fonctions convexes accroissent la moyenne lorsqu'on applique la fonction après moyennage, fournissant une comparaison fondamentale φ(E[X]) versus E[φ(X]) utile en analyse et en probabilités.