Desigualdad que afirma que para una función convexa φ y una variable aleatoria integrable X (o función medible) la función convexa evaluada en la esperanza está a lo más en la esperanza de la función convexa: φ(E[X]) ≤ E[φ(X]).

Principio

Si φ es convexa en un conjunto convexo y X es una función medible con valores en ese conjunto, integrable de modo que X y φ∘X tengan integrales definidas, entonces φ(∫ X dμ) ≤ ∫ φ∘X dμ. En lenguaje probabilístico: φ(E[X]) ≤ E[φ(X]); para φ cóncava la desigualdad se invierte.

Demostración

Ejemplo concreto: φ(t)=t^2 (convexa) y una ley de probabilidad con media m; Jensen da m^2 ≤ E[X^2], relación familiar que conduce a Var(X)=E[X^2]-m^2 ≥ 0 y muestra la no negatividad de la varianza.

Aplicación incorrecta

Aplicar Jensen con una φ no convexa o sin garantizar la integrabilidad de φ∘X conduce a conclusiones falsas; otro uso indebido es considerar la convexidad puntual suficiente cuando fallan condiciones sobre el dominio o la mensurabilidad.

Consecuencia

Jensen es una herramienta básica que conecta convexidad y esperanza, usada para obtener cotas en probabilidad, estadística, análisis convexo y para controlar transformaciones no lineales bajo operaciones de promedio.

Inversión

Para funciones cóncavas ψ la desigualdad se invierte: ψ(E[X]) ≥ E[ψ(X)]. También puede verse la inversión cambiando el signo de φ o empleando subgradientes para obtener cotas inferiores en casos particulares.

Límite

Requiere que φ sea convexa sobre el dominio relevante y la integrabilidad de X y de φ∘X; se aplica a expectativas respecto de medidas de probabilidad y a integrales sobre espacios de medida finita, pero no a aplicaciones no medibles ni a φ con singularidades en la imagen de X.

Tensión semántica

La tensión viene con la linealidad de la esperanza: Jensen cuantifica cómo la no linealidad (convexidad) sitúa la función del promedio por debajo de la media de la función; intuiciones contrapuestas sobre 'sacar una función de un promedio' se resuelven por el signo de la convexidad.

Síntesis

La desigualdad de Jensen formaliza el efecto de las no linealidades convexas (o cóncavas) sobre promedios: las funciones convexas hacen que φ(E[X]) ≤ E[φ(X]), siendo una comparación fundamental empleada en análisis y probabilidad.