Ungleichung, die besagt, dass für eine konvexe Funktion φ und eine integrierbare Zufallsvariable X (oder messbare Funktion) die konvexe Funktion am Erwartungswert höchstens dem Erwartungswert der konvexen Funktion ist: φ(E[X]) ≤ E[φ(X]).

Prinzip

Ist φ konvex auf einer konvexen Menge und X eine messbare Funktion mit Werten in dieser Menge, integrabel in dem Sinne, dass X und φ∘X integrierbar sind, so gilt φ(∫ X dμ) ≤ ∫ φ∘X dμ. In der Wahrscheinlichkeitssprache: φ(E[X]) ≤ E[φ(X)], bei konkaven φ kehrt sich die Ungleichung um.

Demonstration

Konkretes Beispiel: φ(t)=t^2 (konvex) und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert m; Jensen liefert m^2 ≤ E[X^2], was zur bekannten Identität Var(X)=E[X^2]-m^2 ≥ 0 führt und die Nichtnegativität der Varianz erklärt.

Fehlanwendung

Jensen mit einer nicht-konvexen φ anzuwenden oder ohne die Integrabilität von φ∘X zu prüfen, führt zu falschen Schlüssen; ein weiterer Missbrauch ist, punktweise Konvexität als ausreichend anzusehen, obwohl Definitionsbereich oder Messbarkeit fehlen können.

Konsequenz

Jensen ist ein grundlegendes Werkzeug, das Konvexität und Erwartungswert verbindet, und dient zum Herleiten von Abschätzungen in Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, konvexer Analysis und zur Kontrolle nichtlinearer Transformationen unter Mittelungsoperationen.

Umkehrung

Für konkave Funktionen ψ kehrt sich die Ungleichung um: ψ(E[X]) ≥ E[ψ(X)]. Man kann die Umkehrung auch durch Vorzeichenwechsel von φ oder durch Verwendung von Subgradienten interpretieren, um in Spezialfällen untere Schranken zu erhalten.

Abgrenzung

Voraussetzung ist, dass φ auf dem relevanten Gebiet konvex ist und dass X und φ∘X integrierbar sind; die Ungleichung gilt für Erwartungswerte gegenüber Wahrscheinlichkeitsmaßen und Integrale über Räume endlichen Maßes, nicht jedoch für nicht-messbare Abbildungen oder φ mit Pathologien auf dem Wertebereich von X.

Semantische Spannung

Die Spannung besteht gegenüber der Linearität des Erwartungswerts: Jensen präzisiert, wie Konvexität das Resultat dämpft oder verstärkt; konkurrierende Intuitionen zum 'Herausziehen' einer Funktion aus einer Mittelung werden durch das Vorzeichen der Konvexität entschieden.

Synthese

Jensens Ungleichung formalisert die Wirkung konvexer (oder konkaver) Nichtlinearitäten auf Mittelwerte: konvexe Funktionen führen dazu, dass φ(E[X]) ≤ E[φ(X]), uneingeschränkt anwendbar in Analyse und Wahrscheinlichkeitstheorie.