Théorème de la théorie de la mesure qui garantit que, pour une fonction mesurable non négative sur un produit d'espaces mesurés, l'intégrale multiple coïncide avec chacune des intégrales itérées, éventuellement égales à +∞, sans exiger d'hypothèse d'intégrabilité finie.

Principe

Si f:X×Y→[0,∞] est mesurable, alors x ↦ ∫_Y f(x,y) dy est mesurable, de même y ↦ ∫_X f(x,y) dx, et ∫_{X×Y} f = ∫_X(∫_Y f(x,y) dy) dx = ∫_Y(∫_X f(x,y) dx) dy, où les intégrales peuvent être infinies.

Démonstration

Exemple : prendre f(x,y)=χ_A(x)χ_B(y) pour des ensembles mesurables A⊂X et B⊂Y. Tonelli donne ∫_{X×Y} χ_{A×B} = μ(A)μ(B) et permet de calculer la mesure produit par intégrales itérées même lorsque les mesures sont infinies.

Mauvaise application

Utiliser Tonelli pour des fonctions signées ou non non négatives est erroné ; pour des fonctions prenant des signes différents, des annulations peuvent se produire et conduire à de fausses égalités si l'on n'impose pas d'hypothèse supplémentaire (par exemple l'intégrabilité absolue).

Conséquence

Tonelli justifie Fubini dans le cas non négatif et permet d'appliquer la convergence monotone sur les espaces produit ; c'est un outil fondamental pour construire les mesures produit et pour permuter limites et intégrales sous non-négativité.

Inversion

Si l'on retire l'hypothèse de non-négativité, on retombe sur des hypothèses de type Fubini : il faut l'intégrabilité absolue pour garantir l'égalité des intégrales itérées ; on ne peut pas se passer de la non-négativité sans hypothèses supplémentaires.

Limite

S'applique uniquement aux fonctions mesurables à valeurs dans [0,∞] ; il n'assure pas la finitude de l'intégrale et suppose en pratique la construction usuelle de la mesure produit et souvent la σ-finitude pour la commodité des énoncés.

Tension sémantique

La tension se trouve entre Tonelli (cas non négatif, intégrales éventuellement infinies) et Fubini (exigence d'intégrabilité absolue) ; un autre sens concurrent est l'intégrabilité conditionnelle, pour laquelle aucun des deux théorèmes n'est immédiatement applicable.

Synthèse

Le théorème de Tonelli affirme que les fonctions mesurables non négatives sur espaces produit admettent des intégrales itérées égales à l'intégrale multiple, éventuellement infinies, fournissant la base pour les mesures produit et la convergence monotone.