Satz der Maßtheorie, der sicherstellt, dass für eine nichtnegative messbare Funktion auf einem Produktraum das Mehrfachintegral gleich jedem der iterierten Integrale ist, möglicherweise mit dem Wert +∞, ohne zusätzliche Integrierbarkeitsannahmen.

Prinzip

Ist f:X×Y→[0,∞] messbar, so ist x ↦ ∫_Y f(x,y) dy messbar, ebenso y ↦ ∫_X f(x,y) dx, und ∫_{X×Y} f = ∫_X(∫_Y f(x,y) dy) dx = ∫_Y(∫_X f(x,y) dx) dy, wobei die Integrale auch unendlich sein dürfen.

Demonstration

Beispiel: Sei f(x,y)=χ_A(x)χ_B(y) für messbare Mengen A⊂X und B⊂Y. Tonelli ergibt ∫_{X×Y} χ_{A×B} = μ(A)μ(B) und erlaubt die Berechnung des Produktmaßes durch iterierte Integrale auch wenn die Maße unendlich sind.

Fehlanwendung

Tonelli für signierte oder nicht nichtnegative Funktionen anzuwenden ist falsch; bei Funktionen mit wechselndem Vorzeichen können sich Auslöschungen ergeben und falsche Gleichheiten entstehen, sofern nicht zusätzliche Bedingungen (z. B. absolute Integrierbarkeit) gelten.

Konsequenz

Tonelli rechtfertigt Fubini im nichtnegativen Fall und ermöglicht die Anwendung des monotonen Konvergenzsatzes auf Produkträumen; er ist grundlegendes Werkzeug zur Konstruktion des Produktmaßes und zum Vertauschen von Grenzen und Integralen bei Nichtnegativität.

Umkehrung

Wird die Nichtnegativitätsannahme aufgehoben, gelten eher Fubini-artige Voraussetzungen: für die Gleichheit der iterierten Integrale braucht man absolute Integrierbarkeit; die Nichtnegativität lässt sich nicht ohne weiteres weglassen.

Abgrenzung

Gilt nur für messbare Funktionen mit Werten in [0,∞]; die Endlichkeit des Integrals wird nicht garantiert; üblicherweise werden die Standardkonstruktionen des Produktmaßes und σ-Endlichkeit vorausgesetzt.

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen Tonelli (nichtnegativer Fall, Integrale können unendlich sein) und Fubini (Anforderung an absolute Integrierbarkeit); ein konkurrierender Sinn ist die bedingte Integrierbarkeit, bei der keiner der Sätze direkt anwendbar ist.

Synthese

Tonellis Theorem besagt, dass nichtnegative messbare Funktionen auf Produkträumen iterierte Integrale besitzen, die dem Mehrfachintegral entsprechen (gegebenenfalls unendlich), und begründet damit Produktmaße und die Anwendung der monotonen Konvergenz.