Teorema de la teoría de la medida que garantiza que, para una función medible no negativa en un espacio de medida producto, la integral múltiple coincide con cada integral iterada, posiblemente con valor +∞, sin exigir hipótesis de integrabilidad finita.

Principio

Si f:X×Y→[0,∞] es medible, entonces x ↦ ∫_Y f(x,y) dy es medible, asimismo y ↦ ∫_X f(x,y) dx, y ∫_{X×Y} f = ∫_X(∫_Y f(x,y) dy) dx = ∫_Y(∫_X f(x,y) dx) dy, donde las integrales pueden ser infinitas.

Demostración

Ejemplo: tomar f(x,y)=χ_A(x)χ_B(y) para conjuntos medibles A⊂X y B⊂Y. Tonelli da ∫_{X×Y} χ_{A×B} = μ(A)μ(B) y permite calcular la medida producto por integrales iteradas incluso cuando las medidas son infinitas.

Aplicación incorrecta

Usar Tonelli para funciones con signo o no no negativas es incorrecto; en funciones que cambian de signo pueden producirse cancelaciones y falsas igualdades a menos que se imponga integrabilidad absoluta u otra condición extra.

Consecuencia

Tonelli justifica a Fubini en el caso no negativo y permite aplicar el teorema de convergencia monótona en espacios producto; es fundamental para construir medidas producto y para permutar límites e integrales cuando hay no negatividad.

Inversión

Si se elimina la hipótesis de no negatividad aparecen las hipótesis tipo Fubini: para garantizar la igualdad de integrales iteradas se necesita integrabilidad absoluta; no se puede prescindir de la no negatividad sin más condiciones.

Límite

Se aplica sólo a funciones medibles con valores en [0,∞]; no asegura la finitud de la integral y normalmente supone la construcción estándar de la medida producto y a menudo σ-finitud para formular resultados convenientes.

Tensión semántica

La tensión está entre Tonelli (caso no negativo, integrales posiblemente infinitas) y Fubini (requisito de integrabilidad absoluta); otro sentido en competencia es la integrabilidad condicional, donde ninguno de los dos teoremas se aplica directamente.

Síntesis

El teorema de Tonelli afirma que las funciones medibles no negativas en productos permiten calcular la integral múltiple por integrales iteradas iguales, posiblemente infinitas, sentando las bases para medidas producto y la convergencia monótona.