Résultat de la théorie de la mesure indiquant les conditions pour que l'intégrale d'une fonction mesurable sur un produit d'espaces mesurés soit égale aux intégrales itérées calculées dans l'un ou l'autre ordre ; énoncé classiquement pour des fonctions absolument intégrables sur l'espace produit.

Principe

Si f est mesurable sur X×Y muni de la mesure produit et que ∫_{X×Y} |f| < ∞, alors pour presque tout x la section y ↦ f(x,y) est intégrable sur Y, pour presque tout y la section x ↦ f(x,y) est intégrable sur X, et ∫_{X×Y} f = ∫_X (∫_Y f(x,y) dy) dx = ∫_Y (∫_X f(x,y) dx) dy.

Démonstration

Scénario concret : sur R^2 muni de la mesure de Lebesgue, prendre f(x,y)=sin(xy)/(1+x^2+y^2). Comme ∫_{R^2} |f(x,y)| dx dy < ∞, le théorème de Fubini permet de calculer ∫_{R^2} f en intégrant d'abord en y puis en x (ou inversement) et d'obtenir la même valeur finie.

Mauvaise application

Utiliser Fubini lorsque f n'est pas absolument intégrable (∫|f| = ∞) peut conduire à des intégrales itérées contradictoires ou divergentes ; pour certaines fonctions seulement conditionnellement intégrables, les intégrales itérées existent mais diffèrent, donc l'échange d'ordres n'est pas justifié.

Conséquence

Sous ses hypothèses on peut réduire une intégrale multiple à des intégrales itérées à une variable, permuter l'ordre d'intégration en toute sécurité, et appliquer des outils unidimensionnels (convergence dominée, convergence monotone) dans chaque intégrale itérée.

Inversion

En inversant l'énoncé en supprimant l'hypothèse d'absolue intégrabilité on obtient la portée de Tonelli : pour les fonctions mesurables non négatives l'égalité des intégrales itérées tient sans hypothèse d'intégrabilité finie ; sans non-négativité ni intégrabilité absolue l'égalité peut échouer.

Limite

Le théorème requiert usuellement des espaces mesurés σ-finis et l'hypothèse d'absolue intégrabilité (∫|f|<∞) ; les fonctions non mesurables, les espaces non σ-finis ou celles avec ∫|f|=∞ sont exclues.

Tension sémantique

La tension s'exprime entre Fubini et Tonelli (cas non négatif) et entre intégrabilité absolue et conditionnelle : la distinction absolu/conditionnel est le sens concurrent de la notion.

Synthèse

Le théorème de Fubini affirme que, sous intégrabilité absolue et hypothèses standards, l'intégrale multiple coïncide avec les intégrales itérées, autorisant l'échange d'ordre d'intégration en analyse.