Ein Ergebnis der Maßtheorie, das Bedingungen angibt, unter denen das Integral einer messbaren Funktion über einen Produktraum gleich den nacheinander ausgeführten Integralen in beliebiger Reihenfolge ist; üblicherweise formuliert für absolut integrierbare Funktionen auf dem Produktraum.

Prinzip

Ist f messbar auf X×Y bezüglich des Produktmaßes und ∫_{X×Y} |f| < ∞, so sind für fast alle x die Schnitte y ↦ f(x,y) integrierbar auf Y und für fast alle y die Schnitte x ↦ f(x,y) integrierbar auf X, und ∫_{X×Y} f = ∫_X(∫_Y f(x,y) dy) dx = ∫_Y(∫_X f(x,y) dx) dy.

Demonstration

Konkretes Beispiel: auf R^2 mit dem Lebesgue-Maß sei f(x,y)=sin(xy)/(1+x^2+y^2). Da ∫_{R^2}|f(x,y)| dx dy < ∞ gilt, erlaubt Fubinis Theorem, das Integral durch Iteration in y dann x (oder umgekehrt) zu berechnen und denselben endlichen Wert zu erhalten.

Fehlanwendung

Fubini anzuwenden, obwohl f nicht absolut integrierbar ist (∫|f| = ∞), kann zu unterschiedlichen oder divergenten iterierten Integralen führen; bei lediglich bedingt integrierbaren Funktionen existieren die iterierten Integrale manchmal, sind aber nicht gleich, weshalb das Vertauschen des Integrationsorders unzulässig ist.

Konsequenz

Wenn die Voraussetzungen erfüllt sind, kann ein mehrfaches Integral in eindimensionale Iterationsintegrale zerlegt werden, der Integrationsorder beliebig vertauscht werden, und eindimensionale Werkzeuge innerhalb der Iterationen angewandt werden.

Umkehrung

Bei Wegfall der absoluten Integrierbarkeit tritt Tonellis Theorem für nichtnegative Funktionen in den Vordergrund: dort gilt die Gleichheit der iterierten Integrale auch ohne endliche Integrabilität; ohne Nichtnegativität oder absolute Integrierbarkeit kann die Gleichheit scheitern.

Abgrenzung

Die übliche Formulierung setzt σ-endliche Maßräume und die Bedingung ∫|f|<∞ voraus; nicht-messbare Funktionen, nicht-σ-endliche Räume oder Funktionen mit ∫|f|=∞ liegen außerhalb des Geltungsbereichs.

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen Fubini und Tonelli (nichtnegativer Fall) sowie zwischen absoluter und bedingter Integrabilität; die Grenze absolut/bedingt ist hier die konkurrierende Bedeutung.

Synthese

Fubinis Theorem stellt fest, dass unter absoluter Integrabilität und üblichen maßtheoretischen Voraussetzungen das Mehrfachintegral mit den Iterationsintegralen übereinstimmt und das Vertauschen der Integration rechtfertigt.