Un resultado de la teoría de la medida que da condiciones bajo las cuales la integral de una función medible en un espacio de medida producto coincide con las integrales iteradas calculadas en cualquier orden; se enuncia típicamente para funciones absolutamente integrables en el espacio producto.

Principio

Si f es medible en X×Y respecto de la medida producto y ∫_{X×Y} |f| < ∞, entonces para casi todo x la sección y ↦ f(x,y) es integrable en Y, para casi todo y la sección x ↦ f(x,y) es integrable en X, y ∫_{X×Y} f = ∫_X(∫_Y f(x,y) dy) dx = ∫_Y(∫_X f(x,y) dx) dy.

Demostración

Escenario concreto: en R^2 con medida de Lebesgue, tomar f(x,y)=sin(xy)/(1+x^2+y^2). Como ∫_{R^2} |f(x,y)| dx dy < ∞, el teorema de Fubini permite calcular ∫_{R^2} f integrando primero en y y luego en x (o a la inversa) y obtener el mismo valor finito.

Aplicación incorrecta

Aplicar Fubini cuando f no es absolutamente integrable (∫|f| = ∞) puede producir integrales iteradas distintas o divergentes; para algunas funciones condicionalmente integrables las integrales iteradas existen pero no coinciden, por lo que no se puede cambiar el orden de integración a la ligera.

Consecuencia

Con sus hipótesis se puede reducir una integral múltiple a integrales iteradas unidimensionales, intercambiar el orden de integración con seguridad y usar herramientas unidimensionales (convergencia dominada, convergencia monótona) dentro de cada integral iterada.

Inversión

Al invertir la hipótesis de integrabilidad absoluta aparece el alcance de Tonelli: para funciones medibles no negativas la igualdad de integrales iteradas se mantiene sin exigir integrabilidad finita; sin no negatividad ni integrabilidad absoluta la igualdad puede fallar.

Límite

Se suele asumir espacios medibles σ-finitos y la hipótesis ∫|f|<∞; funciones no medibles, espacios no σ-finitos o funciones con ∫|f|=∞ quedan fuera del ámbito del teorema.

Tensión semántica

La tensión está entre Fubini y Tonelli (caso no negativo) y entre integrabilidad absoluta y condicional; la frontera absoluta/condicional es el sentido en competencia.

Síntesis

El teorema de Fubini garantiza que, bajo integrabilidad absoluta y las hipótesis estándar, la integral múltiple coincide con las integrales iteradas y legitima el intercambio del orden de integración.