Une inégalité fondamentale en théorie de la mesure : pour une suite (f_n) de fonctions mesurables non négatives, l'intégrale du liminf ponctuel est au plus le liminf des intégrales, c'est-à-dire ∫ liminf_{n} f_n ≤ liminf_{n} ∫ f_n.

Principe

Semi-continuité inférieure de l'intégrale pour le liminf : la non-négativité empêche les annulations et garantit que la masse perdue dans la limite ponctuelle ne peut pas conduire à ce que le liminf des intégrales soit inférieur à l'intégrale du liminf.

Démonstration

Poser f_n(x) = n·1_{[0,1/n]} sur R muni de la mesure de Lebesgue. Alors f_n → 0 ponctuellement, donc ∫ liminf f_n = 0, tandis que ∫ f_n = 1 pour tout n, d'où 0 ≤ liminf ∫ f_n = 1, illustrant l'inégalité et le fait qu'elle peut être stricte.

Mauvaise application

Appliquer le lemme de Fatou à des suites non positives (fonctions signées) sans séparer parties positives et négatives, ou remplacer indûment liminf par limsup ; ces usages conduisent à des inégalités fausses.

Conséquence

Le lemme de Fatou est une étape clé pour démontrer les théorèmes de convergence monotone et dominée et fournit un contrôle inférieur minimal sur des intégrales limites, utilisé largement dans des preuves d'existence et des arguments variationnels.

Inversion

Il n'existe pas d'inégalité réciproque générale ; pour obtenir égalité ou une borne supérieure, il faut des hypothèses plus fortes telles que la convergence dominée ou l'uniforme intégrabilité, qui contrôlent la perte de masse.

Limite

Valable uniquement pour des fonctions mesurables non négatives (ou appliqué aux parties positives de fonctions signées). S'applique dans des espaces de mesure généraux mais ne donne pas en soi des bornes supérieures ni la convergence sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

La tension apparaît avec la convergence dominée (qui permet l'échange limite-intégrale sous domination) et la convergence monotone (qui donne l'égalité sous monotonie) ; Fatou fournit une inégalité minimale que d'autres théorèmes affinent sous des hypothèses plus fortes.

Synthèse

Le lemme de Fatou offre une affirmation robuste de semi-continuité inférieure pour l'intégrale sous le liminf ponctuel de fonctions non négatives : il garantit que la masse intégrale ne disparaît pas au-dessous du liminf des intégrales et constitue une inégalité fondatrice de la théorie de l'intégration.