Una desigualdad básica en teoría de la medida: para una sucesión (f_n) de funciones mensurables no negativas, la integral del liminf puntual es menor o igual que el liminf de las integrales, es decir ∫ liminf_{n} f_n ≤ liminf_{n} ∫ f_n.

Principio

Semicontinuidad inferior del integral respecto al liminf: la no negatividad evita cancelaciones y asegura que la masa perdida en los límites puntuales no puede hacer que el liminf de las integrales caiga por debajo de la integral del liminf.

Demostración

Sea f_n(x) = n·1_{[0,1/n]} en R con medida de Lebesgue. Entonces f_n → 0 puntualmente, por lo que ∫ liminf f_n = 0, mientras que ∫ f_n = 1 para todo n, de modo que 0 ≤ liminf ∫ f_n = 1, ilustrando la desigualdad y su posible estrictez.

Aplicación incorrecta

Intentar aplicar el lema de Fatou a sucesiones que no son no negativas (funciones con signo) sin separar partes positivas y negativas, o sustituir indebidamente liminf por limsup; ambos errores conducen a desigualdades incorrectas.

Consecuencia

El lema de Fatou es un paso clave para probar los teoremas de convergencia monotónica y dominada y proporciona un control inferior mínimo sobre integrales límite, usado ampliamente en pruebas de existencia y argumentos variacionales.

Inversión

No existe una desigualdad inversa general; para obtener igualdad o una cota superior se requieren hipótesis más fuertes, como convergencia dominada o integrabilidad uniforme, que controlen la pérdida de masa.

Límite

Válido solo para funciones mensurables no negativas (o aplicado a las partes positivas de funciones con signo). Se aplica en espacios de medida generales pero no proporciona por sí solo cotas superiores ni convergencia sin hipótesis adicionales.

Tensión semántica

La tensión aparece con la convergencia dominada (que permite intercambio límite-integral bajo dominación) y la convergencia monotónica (que da igualdad bajo monotonía); Fatou ofrece la desigualdad mínima que otros teoremas refinan bajo condiciones más fuertes.

Síntesis

El lema de Fatou proporciona una afirmación robusta de semicontinuidad inferior para integrales frente al liminf puntual de funciones no negativas: garantiza que la masa integral no desaparece por debajo del liminf de las integrales y constituye una desigualdad fundacional en la teoría de la integración.