Eine grundlegende Ungleichung der Maßtheorie: Für eine Folge (f_n) nichtnegativer messbarer Funktionen gilt, dass das Integral des punktweisen liminf höchstens das liminf der Integrale ist, d. h. ∫ liminf_{n} f_n ≤ liminf_{n} ∫ f_n.

Prinzip

Unterer Halbstetigkeitseffekt des Integrals unter liminf: Die Nichtnegativität verhindert Auslöschungen und stellt sicher, dass durch punktweise Grenzprozesse verlorene Masse das liminf der Integrale nicht unter das Integral des liminf drücken kann.

Demonstration

Betrachte f_n(x) = n·1_{[0,1/n]} auf R mit Lebesgue-Maß. Dann gilt f_n → 0 punktweise, also ∫ liminf f_n = 0, während ∫ f_n = 1 für alle n ist, also 0 ≤ liminf ∫ f_n = 1; das zeigt die Ungleichung und ihre mögliche Striktheit.

Fehlanwendung

Fatous Lemma auf Folgen anzuwenden, die nicht nichtnegativ sind (signierte Funktionen) ohne Zerlegung in positive und negative Teile, oder irrtümlich liminf durch limsup zu ersetzen, führt zu falschen Ergebnissen.

Konsequenz

Fatous Lemma ist ein zentraler Schritt beim Beweis des monotonen Konvergenzsatzes und des dominierten Konvergenzsatzes und liefert eine minimale untere Schranke für Grenzintegrale, die in Existenzbeweisen und Variationsargumenten breit angewandt wird.

Umkehrung

Eine allgemeine Umkehrung gibt es nicht; um Gleichheit oder eine obere Schranke zu erhalten, benötigt man stärkere Voraussetzungen wie Dominierungsannahmen oder gleichmäßige Integrierbarkeit, die den Massenverlust kontrollieren.

Abgrenzung

Gilt nur für nichtnegative messbare Funktionen (oder für die positiven Teile signierter Funktionen). Es gilt in beliebigen Maßräumen, liefert aber ohne zusätzliche Hypothesen keine oberen Schranken oder Konvergenz.

Semantische Spannung

Die Spannung besteht gegenüber dem dominierten Konvergenzsatz (der unter Dominierung das Vertauschen von Limes und Integral erlaubt) und dem monotonen Konvergenzsatz (der bei Monotonie Gleichheit liefert); Fatou liefert die minimale Ungleichung, die die anderen Sätze unter stärkeren Annahmen verfeinern.

Synthese

Fatous Lemma stellt eine robuste Unterhalbstetigkeitsaussage des Integrals unter punktweiser liminf-Konvergenz nichtnegativer Funktionen dar: es garantiert, dass die Integralmassse nicht unter das liminf der Integrale verschwindet und bildet eine fundamentale Ungleichung der Integrationstheorie.