Une caractérisation de la convergence pour les suites (ou les séries via leurs sommes partielles) dans les espaces métriques ou uniformes : une suite est de Cauchy si ses termes deviennent arbitrairement proches les uns des autres lorsque l'indice croît ; dans un espace complet, les suites de Cauchy convergent.

Principe

Convergence sans limite : le critère dissocie la cohérence interne d'une suite (proximité mutuelle des queues) de l'existence d'un point limite ; la complétude de l'espace ambiant transforme la propriété de Cauchy interne en convergence réelle.

Démonstration

La suite x_n = 1/n dans R est de Cauchy car pour des m,n grands la différence |1/n - 1/m| devient aussi petite qu'on veut ; les sommes partielles de la série harmonique alternée n'échouent pas forcément le critère, mais une série divergente a des sommes partielles non-Cauchy.

Mauvaise application

Employer le critère de Cauchy dans un espace dépourvu de structure uniforme (espaces topologiques purs sans métrique) sans recourir aux filets ou filtres, ou supposer qu'une suite de Cauchy converge indépendamment de la complétude de l'espace.

Conséquence

Le critère fournit un test de convergence sans recourir à la connaissance d'une limite et est l'outil définitoire de la complétude ; il sert à construire des complétions (par exemple les rationnels vers les réels) et est central en analyse et dans les preuves de convergence numérique.

Inversion

L'énoncé réciproque caractérise les espaces : la propriété que toutes les suites de Cauchy convergent est la complétude. Réciproquement, une suite peut être de Cauchy sans converger précisément dans des espaces incomplets (par ex. suites de rationnels sans limite rationnelle).

Limite

S'applique dans les espaces métriques et, plus généralement, dans les espaces uniformes ; pour des espaces topologiques généraux on doit utiliser des filets ou filtres de Cauchy relatifs à une uniformité. Il ne traite pas directement des notions de convergence qui nécessitent une structure d'ordre ou de mesure sans données supplémentaires.

Tension sémantique

Il existe une tension entre la propriété de Cauchy et la convergence pointwise : Cauchy concerne la proximité mutuelle des queues alors que la convergence ponctuelle peut tolérer un certain comportement oscillatoire ; tension aussi entre complétude (propriété de l'espace) et convergence (propriété de la suite).

Synthèse

Le critère de Cauchy isole le comportement intrinsèque de convergence en testant la proximité mutuelle des queues d'une suite ; associé à la complétude de l'espace, il entraîne la convergence réelle, et en l'absence de complétude il signale la nécessité d'une complétion.