Una caracterización de la convergencia para sucesiones (o series a través de sus sumas parciales) en espacios métricos o uniformes: una sucesión es de Cauchy si sus términos se acercan arbitrariamente entre sí cuando crece el índice; en un espacio completo, las sucesiones de Cauchy convergen.

Principio

Convergencia sin límite conocido: el criterio separa la coherencia interna de una sucesión (proximalidad mutua de las colas) de la existencia de un punto límite; la completitud del espacio convierte la propiedad de Cauchy en convergencia real.

Demostración

La sucesión x_n = 1/n en R es de Cauchy porque para m,n grandes la diferencia |1/n - 1/m| puede hacerse tan pequeña como se quiera; en las racionales existen sucesiones de Cauchy que no convergen dentro de Q por falta de completitud.

Aplicación incorrecta

Usar el criterio de Cauchy en un espacio que carece de estructura uniforme (espacios topológicos puros sin métrica) sin pasar a redes o filtros, o suponer que una sucesión de Cauchy debe converger independientemente de la completitud del espacio.

Consecuencia

El criterio ofrece una prueba de convergencia sin limitación y es la herramienta definitoria de la completitud; subyace a construcciones de completación (por ejemplo, completar los racionales a los reales) y es central en análisis y pruebas de convergencia numérica.

Inversión

La inversión aísla espacios: que todas las sucesiones de Cauchy converjan caracteriza la completitud. A la inversa, una sucesión puede ser de Cauchy sin converger precisamente en espacios incompletos (p. ej., sucesiones racionales de Cauchy sin límite racional).

Límite

Se aplica en espacios métricos y, más generalmente, en espacios uniformes; para espacios topológicos generales hay que usar redes o filtros de Cauchy respecto a una uniformidad. No trata directamente nociones de convergencia que requieran estructura de orden o medida sin datos adicionales.

Tensión semántica

Existe tensión entre la propiedad de Cauchy y la convergencia puntual: Cauchy concierne a la proximidad mutua de las colas mientras que la convergencia puntual permite comportamientos oscilatorios; también hay tensión entre completitud (propiedad del espacio) y convergencia (propiedad de la sucesión).

Síntesis

El criterio de Cauchy aísla el comportamiento intrínseco de convergencia comprobando la proximidad mutua de las colas de una sucesión; unido a la completitud del espacio conduce a la convergencia real y, en ausencia de completitud, señala la necesidad de completar el espacio.