Eine Charakterisierung der Konvergenz für Folgen (oder Reihen über ihre Partialsummen) in metrischen oder uniformen Räumen: Eine Folge ist Cauchy, wenn ihre Glieder mit wachsendem Index beliebig nahe beieinander liegen; in einem vollständigen Raum konvergieren Cauchy-Folgen.

Prinzip

Konvergenz ohne Grenzwert: Das Kriterium trennt die interne Kohärenz einer Folge (gegenseitige Nähe der Restsummen) von der Existenz eines Grenzwerts; die Vollständigkeit des Raums macht die interne Cauchy-Eigenschaft zur tatsächlichen Konvergenz.

Demonstration

Die Folge x_n = 1/n in R ist Cauchy, weil für große m,n der Unterschied |1/n - 1/m| beliebig klein wird; Cauchy-Folgen in den rationalen Zahlen können jedoch keinen rationalen Grenzwert haben, wenn der Raum nicht vollständig ist.

Fehlanwendung

Das Cauchy-Kriterium in einem Raum ohne uniforme Struktur (reine topologische Räume ohne Metrik) ohne Umstellung auf Netze oder Filter anzuwenden, oder zu behaupten, eine Cauchy-Folge müsse unabhängig von der Vollständigkeit des Raums konvergieren.

Konsequenz

Das Kriterium bietet einen grenzwertfreien Test auf Konvergenz und ist das definierende Werkzeug für Vollständigkeit; es liegt den Konstruktionen von Komplettierungen (z. B. der Vervollständigung der rationalen Zahlen) zugrunde und ist zentral in der Analysis und bei numerischen Konvergenznachweisen.

Umkehrung

Die Umkehrung isoliert Räume: Dass alle Cauchy-Folgen konvergieren, kennzeichnet Vollständigkeit. Umgekehrt kann eine Folge Cauchy sein, ohne zu konvergieren, genau in unvollständigen Räumen (z. B. rationale Cauchy-Folgen ohne rationalen Limes).

Abgrenzung

Gilt in metrischen und allgemeineren uniformen Räumen; für allgemeine topologische Räume muss man Cauchy-Netze/-Filter bezüglich einer Uniformität verwenden. Es behandelt nicht direkt Konvergenzkonzepte, die zusätzliche Ordnungs- oder Maßstrukturen benötigen.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen der Cauchy-Eigenschaft und punktweiser Konvergenz: Cauchy beschreibt die gegenseitige Nähe von Restgliedern, während punktweise Konvergenz oszillatorisches Verhalten zulassen kann; ferner Spannung zwischen Vollständigkeit (Eigenschaft des Raums) und Konvergenz (Eigenschaft der Folge).

Synthese

Das Cauchy-Kriterium isoliert das intrinsische Konvergenzverhalten durch Prüfung der gegenseitigen Nähe von Folgenschwänzen; in einem vollständigen Raum führt dies zur tatsächlichen Konvergenz, andernfalls zeigt es die Notwendigkeit einer Komplettierung an.