La partie du fibré cotangent (sans la section nulle) qui indique à la fois les points d'une variété où une distribution est singulière et les directions cotangentes dans lesquelles cette singularité n'est pas microlocalement régulière ; notée en général WF(u).

Principe

Régularité microlocale : une distribution est régulière en un point pour une direction cotangente donnée exactement lorsque la paire cotangente n'appartient pas à l'ensemble des fronts d'onde. L'ensemble organise les singularités par position et direction fréquentielle.

Démonstration

Pour la distribution delta de Dirac au point 0 dans R^n, WF(δ) = { (0, ξ) : ξ ≠ 0 }, ce qui signifie que la distribution est singulière en 0 pour toutes les directions cotangentes non nulles. Pour la fonction échelon de Heaviside sur R, l'ensemble contient les paires (0, ξ) correspondant aux directions de fréquence qui voient le saut.

Mauvaise application

Confondre l'ensemble des fronts d'onde avec le support singulier (qui perd l'information directionnelle), ou l'utiliser comme sous-ensemble du fibré tangent au lieu du fibré cotangent ; ces erreurs éliminent la donnée microlocale essentielle.

Conséquence

Identifié correctement, l'ensemble des fronts d'onde permet d'énoncer précisément la propagation des singularités sous l'action d'opérateurs différentiels ou pseudodifférentiels et sert d'outil central pour résoudre les EDP et pour l'analyse de diffusion.

Inversion

La vue inverse est la microrégularité : l'ensemble des directions cotangentes en lesquelles la distribution est microlocalement lisse (le complément de WF dans le fibré cotangent privé de la section nulle), mettant en avant les directions sans singularité.

Limite

Défini pour des distributions (ou hyperfonctions) sur des variétés et comme sous-ensemble du fibré cotangent sans les covecteurs nuls ; il ne s'applique pas tel quel aux fonctions classiques déjà lisses ni aux directions tangent faces à la place des covecteurs.

Tension sémantique

Concepts proches incluent le support singulier (localisation seule) et le support spectral (contenu fréquentiel global) ; l'ensemble des fronts d'onde combine position et direction, ce qui crée une tension lorsqu'on cherche une description plus simple ne retenant que la position.

Synthèse

L'ensemble des fronts d'onde est l'empreinte microlocale d'une distribution : il affine le support singulier en attachant à chaque point singulier les directions cotangentes où la régularité échoue, autorisant une analyse directionnelle de la propagation et de la régularité.