Die Teilmenge des Kotangentialbündels (ohne die Nullsektion), die sowohl die Punkte einer Mannigfaltigkeit bezeichnet, an denen eine Distribution singulär ist, als auch die Kotangentialrichtungen, in denen diese Singulärität mikrolokal nicht glatt ist; gewöhnlich mit WF(u) bezeichnet.

Prinzip

Mikrolokale Regularität: Eine Distribution ist an einem Punkt in einer bestimmten Kotangentialrichtung genau dann glatt, wenn dieses Kotangentialpaar nicht zur Wellenfrontmenge gehört. Die Wellenfrontmenge ordnet Singuläritäten nach Ort und Richtungsfrequenz.

Demonstration

Für die Dirac-Delta-Distribution im Ursprung von R^n gilt WF(δ) = { (0, ξ) : ξ ≠ 0 }, was anzeigt, dass die Distribution am Nullpunkt in jeder nichtverschwindenden Kotangentialrichtung singulär ist. Für die Heaviside-Stufenfunktion auf R enthält die Wellenfrontmenge die Paare (0, ξ) mit den Richtungen, die den Sprung sehen.

Fehlanwendung

Die Wellenfrontmenge mit dem singulären Träger (singular support) zu verwechseln, wodurch die Richtungsinformation verloren geht, oder sie fälschlich als Teil des Tangentialbündels statt des Kotangentialbündels zu verwenden; beides eliminiert die mikrolokale Richtungseigenschaft.

Konsequenz

Ist die Wellenfrontmenge korrekt bestimmt, ermöglicht sie präzise Aussagen über die Propagation von Singuläritäten unter Differential- und Pseudodifferentialoperatoren und ist grundlegend für mikrolokale Lösungsansätze bei partiellen Differentialgleichungen und in der Streutheorie.

Umkehrung

Die kontrastierende Sicht ist die Mikrogüte (Micro-Regularity): die Menge der Kotangentialrichtungen, in denen die Distribution mikrolokal glatt ist (das Komplement von WF im Kotangentialbündel ohne Nullsektion), die Richtungen ohne Singulärität hervorhebt.

Abgrenzung

Definiert für Distributionen (oder Hyperfunktionen) auf Mannigfaltigkeiten und als Teilmenge des Kotangentialbündels ohne Nullsektion; nicht direkt anwendbar auf bereits glatte klassische Funktionen oder als Konzept auf beliebige Tangentialrichtungen.

Semantische Spannung

Nahe verwandte Begriffe sind der singuläre Träger (nur Lokalisation) und das spektrale Trägerkonzept (globaler Fourier-Support); die Wellenfrontmenge verbindet lokale Lage und Richtung, was zu Spannungen führt, wenn man nur eine ortsbezogene Beschreibung wünscht.

Synthese

Die Wellenfrontmenge ist der mikrolokale Fingerabdruck einer Distribution: Sie verfeinert den singulären Träger, indem sie zu jedem singulären Punkt die Kotangentialrichtungen anhängt, in denen Glattheit fehlt, und ermöglicht so richtungsbezogene Aussagen über Propagation und Regularität.