Le supremum, pris sur toutes les partitions finies d'un intervalle réel, des sommes des incréments absolus d'une fonction à valeurs réelles ; il mesure l'oscillation cumulative de la fonction sur cet intervalle et est fini exactement lorsque la fonction est de variation bornée.

Principe

La variation totale organise le comportement d'une fonction en accumulant tous les changements absolus : elle ignore l'annulation des incréments signés et capture donc l'oscillation globale plutôt que le déplacement net.

Démonstration

Pour f(x)=x sur [0,1] la variation totale vaut 1 car toute partition donne une somme égale à 1 ; pour f(x)=|x| sur [-1,1] la variation totale vaut 2, montrant comment les parties monotones s'additionnent pour former la variation globale.

Mauvaise application

Remplacer la variation totale par le changement net (f(b)−f(a)) ou appliquer la définition unidimensionnelle sans modification à des trajectoires vectorielles sans spécifier une norme conduit à des conclusions erronées sur la régularité.

Conséquence

Une fonction réelle de variation totale finie admet une décomposition de Jordan comme différence de deux fonctions monotones croissantes, n'a que des discontinuités de saut dont la taille totale est bornée, et définit une mesure de Stieltjes bornée utilisée pour l'intégration contre des fonctions continues.

Inversion

Au lieu de sommer les incréments absolus, considérer le changement net (somme signée) annule les oscillations ; cette inversion mesure le déplacement mais perd l'information sur la rugosité captée par la variation totale.

Limite

Définie pour des fonctions à valeurs réelles sur un intervalle fermé (ou, plus généralement, sur des domaines ordonnés) ; exclut les extensions naïves aux domaines de dimension supérieure sans choix de norme vectorielle ou aux distributions sans structure additionnelle.

Tension sémantique

Le terme « variation » est aussi utilisé pour la variance statistique ou pour les variations en calcul des variations ; la variation totale désigne ici spécifiquement l'accumulation des incréments absolus, non la dispersion autour d'une moyenne ni la dérivée fonctionnelle.

Synthèse

La variation totale est le supremum de la somme des changements absolus d'une fonction réelle sur un intervalle : une mesure quantitative, sans annulation, de l'oscillation qui caractérise la régularité de variation bornée et permet des décompositions et constructions métriques.