El supremo, tomado sobre todas las particiones finitas de un intervalo real, de las sumas de incrementos absolutos de una función de valor real; mide la oscilación acumulada de la función en ese intervalo y es finita exactamente cuando la función tiene variación acotada.

Principio

La variación total organiza el comportamiento de una función acumulando todos los cambios absolutos: ignora la cancelación de incrementos con signo y por ello captura la oscilación global en lugar del desplazamiento neto.

Demostración

Para f(x)=x en [0,1] la variación total es 1 porque cualquier partición suma 1; para f(x)=|x| en [-1,1] la variación total es 2, ilustrando cómo se suman las piezas monótonas para dar la variación total.

Aplicación incorrecta

Usar la variación total como sustituto del cambio neto (f(b)−f(a)) o aplicar la definición unidimensional sin modificar a trayectorias vectoriales sin especificar una norma puede conducir a conclusiones incorrectas sobre regularidad.

Consecuencia

Una función real con variación total finita admite una descomposición de Jordan como diferencia de dos funciones monótonas crecientes, tiene sólo discontinuidades de salto cuya magnitud total está acotada y define una medida de Stieltjes acotada para integrar contra funciones continuas.

Inversión

En vez de sumar incrementos absolutos, considerar la suma neta (con signo) que anula las oscilaciones; esta inversión mide el desplazamiento pero pierde la información sobre la rugosidad captada por la variación total.

Límite

Definida para funciones reales en un intervalo cerrado (o, más generalmente, en dominios ordenados); excluye extensiones ingenuas a dominios de mayor dimensión sin elegir una norma vectorial o a distribuciones sin estructura adicional.

Tensión semántica

La palabra «variación» se usa también para la varianza estadística o para variaciones en cálculo de variaciones; aquí la variación total denota específicamente la acumulación de incrementos absolutos, no la dispersión respecto a una media ni la derivada funcional.

Síntesis

La variación total es el supremo de la suma de cambios absolutos de una función real en un intervalo: una medida cuantitativa y sin cancelación de la oscilación que caracteriza la regularidad de variación acotada y permite descomposiciones y construcciones medidas.