Das Supremum über alle endlichen Zerlegungen eines reellen Intervalls der Summen der absoluten Zuwächse einer reellwertigen Funktion; es misst die kumulative Oszillation der Funktion auf diesem Intervall und ist genau dann endlich, wenn die Funktion beschränkte Variation besitzt.

Prinzip

Die Totalvariation erfasst das Verhalten einer Funktion durch Aufsummieren aller absoluten Änderungen: sie lässt Vorzeichenkürzungen nicht zu und misst daher die gesamte Oszillation statt der resultierenden Verschiebung.

Demonstration

Für f(x)=x auf [0,1] ist die Totalvariation 1, weil jede Zerlegung Summen von 1 ergibt; für f(x)=|x| auf [-1,1] ist die Totalvariation 2, was zeigt, wie monotone Teilstücke addieren.

Fehlanwendung

Die Totalvariation mit der Nettoänderung (f(b)−f(a)) gleichzusetzen oder die eindimensionale Definition unverändert auf vektorwertige Pfade ohne Normwahl anzuwenden, führt zu fehlerhaften Aussagen über Regularität.

Konsequenz

Eine reelle Funktion mit endlicher Totalvariation besitzt eine Jordan-Zerlegung als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen, hat nur Sprungstetigkeiten mit beschränkter Gesamthöhe und induziert ein beschränktes Stieltjesmaß zum Integrieren gegen stetige Funktionen.

Umkehrung

Statt absolute Zuwächse zu summieren, betrachtet man die netto summierten (signierten) Änderungen, die Oszillationen auslöschen; diese Umkehr misst Verschiebung, verliert jedoch die von der Totalvariation erfasste Rauheit.

Abgrenzung

Definiert für reellwertige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall (oder allgemein geordneten Domänen); schließt naive Erweiterungen auf mehrdimensionale Bereiche ohne Normwahl oder auf Distributionen ohne zusätzliche Struktur aus.

Semantische Spannung

Der Ausdruck „Variation“ wird auch für statistische Varianz oder für Variationen in der Variationsrechnung verwendet; die Totalvariation meint hier spezifisch die kumulative Summe absoluter Zuwächse, nicht Streuung um einen Mittelwert oder funktionale Ableitungen.

Synthese

Totalvariation ist das Supremum kumulativer absoluter Änderungen einer reellen Funktion auf einem Intervall: eine nicht-aufhebende Messung der Oszillation, die die Variation-beschränkte Regularität kennzeichnet und Zerlegungen sowie maßtheoretische Konstruktionen ermöglicht.