Un isomorphisme qui identifie l'homologie de Hochschild d'une algèbre commutative lisse avec ses formes différentielles algébriques : pour une k-algèbre commutative lisse A (sous les hypothèses usuelles, par exemple caractéristique zéro ou lissité convenable) on identifie HH_n(A) aux modules de différentielles de Kähler Ω^n_A, de façon compatible avec la graduation naturelle et l'application de Hochschild–Kostant–Rosenberg.

Principe

Le complexe de Hochschild d'une algèbre commutative lisse se met en quasi-isomorphisme avec le complexe de de Rham de sorte que l'homologie de Hochschild, un invariant dérivé construit par la chaîne bar, retrouve les formes différentielles algébriques dans le cas lisse.

Démonstration

Pour l'algèbre polynomiale A = k[x_1,…,x_d] sur un corps k de caractéristique zéro, l'application HKR envoie la classe représentée par un tenseur x_{i_1} ⊗ … ⊗ x_{i_n} du complex de chaînes de Hochschild sur la forme différentielle dx_{i_1} ∧ … ∧ dx_{i_n}, donnant un isomorphisme explicite HH_n(A) ≅ Ω^n_A.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des algèbres commutatives singulières, à des algèbres non commutatives, ou sans tenir compte des conditions en caractéristique positive ; dans ces situations la flèche HKR peut cesser d'être un isomorphisme et laisser apparaître des classes de torsion ou des obstructions homologiques supplémentaires.

Conséquence

Lorsque le théorème s'applique, on peut calculer l'homologie de Hochschild (et, via des structures supplémentaires, l'homologie cyclique) en termes de formes différentielles algébriques et employer l'intuition de la théorie de de Rham pour analyser des invariants dérivés et des obstructions de déformation.

Inversion

Si l'homologie de Hochschild ne coïncide pas avec les formes différentielles pour une algèbre donnée, cette divergence signale une non-lissité, des singularités ou une non-commutativité et indique une complexité homologique supplémentaire.

Limite

Valable pour les algèbres commutatives lisses et les schémas lisses sous les hypothèses assurant que l'application HKR est un quasi-isomorphisme (souvent caractère zéro ou conditions de séparabilité). Elle exclut les anneaux non commutatifs généraux, les algèbres singulières et de nombreux cas en caractéristique positive sans adaptations.

Tension sémantique

Conflit entre la lecture de l'homologie de Hochschild comme invariant purement dérivé et la lecture classique par les formes : HKR réduit la complexité dérivée en cas de lissité, créant une tension dès qu'on quitte l'hypothèse de lissité.

Synthèse

Le théorème HKR est le pont qui, sous l'hypothèse de lissité, identifie l'homologie dérivée de Hochschild d'une algèbre commutative avec ses formes différentielles classiques, permettant de transférer calculs et intuitions entre les perspectives homologiques et différentielles.