Un isomorfismo que identifica la homología de Hochschild de una álgebra conmutativa lisa con sus formas diferenciales algebraicas: para una k-álgebra conmutativa lisa A (bajo las hipótesis habituales, p. ej. característica cero o lisez apropiada) se identifican HH_n(A) con los módulos de diferenciales de Kähler Ω^n_A, de manera compatible con la graduación natural y la aplicación HKR.

Principio

El complejo de Hochschild de una álgebra conmutativa lisa es cuasi-isomorfo al complejo de de Rham, de modo que la homología de Hochschild, entendida como invariante derivado, recupera las formas diferenciales clásicas en el caso liso.

Demostración

Para la álgebra polinómica A = k[x_1,…,x_d] sobre un cuerpo k de característica cero, la aplicación HKR envía la clase representada por un tensor x_{i_1} ⊗ … ⊗ x_{i_n} en el complejo de cadenas de Hochschild a la forma diferencial dx_{i_1} ∧ … ∧ dx_{i_n}, obteniendo el isomorfismo explícito HH_n(A) ≅ Ω^n_A.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a álgebras conmutativas singulares, a álgebras no conmutativas o sin comprobar las hipótesis en característica positiva; en tales casos la aplicación HKR puede dejar de ser un isomorfismo y puede pasar por alto torsión u otras obstrucciones homológicas.

Consecuencia

Cuando es aplicable, permite calcular la homología de Hochschild (y, con estructuras adicionales, la homología cíclica) en términos de las formas diferenciales algebraicas y usar la intuición de de Rham para analizar invariantes derivados y obstrucciones a deformaciones.

Inversión

Si la homología de Hochschild no coincide con las formas diferenciales para una álgebra dada, esa discrepancia indica falta de lisez, singularidades o no conmutatividad y la presencia de complejidad homológica adicional.

Límite

Se aplica a álgebras conmutativas lisas y esquemas lisos bajo las hipótesis que garantizan que la aplicación HKR es un cuasi-isomorfismo (a menudo característica cero o condiciones de separabilidad). Excluye anillos no conmutativos generales, álgebras singulares y muchos casos en característica positiva sin ajustes.

Tensión semántica

Tensión entre concebir la homología de Hochschild como un invariante derivado puro y la descripción clásica por formas diferenciales: HKR aplana la complejidad derivada en el caso liso, creando fricción cuando se abandona la hipótesis de lisez.

Síntesis

El teorema HKR es el puente que, bajo lisez, iguala la homología de Hochschild derivada de una álgebra conmutativa con sus formas diferenciales clásicas, permitiendo transferir cálculos e intuiciones entre las perspectivas homológica y diferencial.