Eine Isomorphie, die die Hochschild-Homologie einer glatten kommutativen Algebra mit ihren algebraischen Differentialformen identifiziert: für eine glatte kommutative k-Algebra A (unter den üblichen Voraussetzungen, z. B. charakteristisch null oder geeignete Glattheit) sind die Hochschild-Gruppen HH_n(A) mit den Kähler-Differentialmodulen Ω^n_A identifizierbar, verträglich mit der natürlichen Graduierung und der HKR-Abbildung.

Prinzip

Der Hochschild-Komplex einer glatten kommutativen Algebra ist quasi-isomorph zum de-Rham-Komplex; dadurch rekonstruiert die als abgeleitetes Invariant definierte Hochschild-Homologie im glatten Fall die klassischen algebraischen Differentialformen.

Demonstration

Für die Polynomalgebra A = k[x_1,…,x_d] über einem Körper k mit Charakteristik null schickt die HKR-Abbildung die Klasse, die durch einen Tensor x_{i_1} ⊗ … ⊗ x_{i_n} im Hochschild-Kettenkomplex repräsentiert ist, auf die Differentialform dx_{i_1} ∧ … ∧ dx_{i_n} und liefert so das explizite Isomorphismus HH_n(A) ≅ Ω^n_A.

Fehlanwendung

Den Satz auf singuläre kommutative Algebren, auf nichtkommutative Algebren oder ohne Beachtung der notwendigen Voraussetzungen in positiver Charakteristik anzuwenden ist fehlleitend; die HKR-Abbildung kann dann kein Isomorphismus sein und zusätzliche Torsions- oder Obstruktionsklassen übersehen.

Konsequenz

Unter den Geltungsbedingungen erlaubt der Satz die Berechnung von Hochschild- und über zusätzliche Strukturen auch zyklischer Homologie in Begriffen algebraischer Differentialformen und die Nutzung geometrischer de-Rham-Intuition zur Untersuchung abgeleiteter Invarianten und Deformationsobstruktionen.

Umkehrung

Weicht die Hochschild-Homologie einer Algebra von den Differentialformen ab, deutet dies auf Nicht-Glattheit, Singularitäten oder Nichtkommutativität hin und auf zusätzliche homologische Komplexität.

Abgrenzung

Gilt für glatte kommutative Algebren und geeignete glatte Schemata unter den Voraussetzungen, die die HKR-Abbildung zum Quasi-Isomorphismus machen (häufig Charakteristik null oder Separabilitätsbedingungen). Ausgeschlossen sind allgemein nichtkommutative Ringe, singuläre Algebren und viele Fälle in positiver Charakteristik ohne Modifikation.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Sicht von Hochschild-Homologie als rein abgeleitetem Invariant und der klassischen Sicht durch Differentialformen: HKR reduziert abgeleitete Komplexität im glatten Fall, was beim Verlassen der Glattheitsannahme zu Widersprüchen führt.

Synthese

Das HKR-Theorem ist die Brücke, die unter Glattheitsannahmen die abgeleitete Hochschild-Homologie einer kommutativen Algebra mit ihren klassischen algebraischen Differentialformen identifiziert und so Berechnungen und Intuitionen zwischen homologischer und differentieller Sicht verbindet.