Une algèbre, pour une signature et une variété données, engendrée par un ensemble de générateurs libres sans relations autres que les identités imposées par la signature et la variété ; équivalemment, un objet F(X) muni de l'inclusion de l'ensemble de générateurs X tel que toute application de X vers une algèbre A de la même variété s'étend de façon unique en un homomorphisme F(X) → A.

Principe

La propriété universelle d'extension : la liberté est caractérisée comme le foncteur adjoint à gauche du foncteur d'oubli vers Set, de sorte que les homomorphismes sortant de l'algèbre libre sont entièrement déterminés par les images des générateurs.

Démonstration

Dans la variété des groupes, le groupe libre sur un générateur est isomorphe aux entiers relatifs pour l'addition ; dans la variété des algèbres associatives unitaires sur un corps, l'algèbre libre sur un ensemble X est l'algèbre des polynômes non commutatifs (l'algèbre tensorielle) engendrée par X. Concrètement, l'algèbre de termes pour une signature Σ et un ensemble X est l'ensemble des termes Σ construits à partir de X.

Mauvaise application

Qualifier d'« libre » toute algèbre munie d'un ensemble distingué de générateurs sans vérifier la propriété universelle d'extension, ou supposer la liberté sans référence à la variété/signature (par exemple appeler 'algèbre libre' un module libre sans vérifier le cadre algébrique).

Conséquence

Pour une algèbre libre F(X), donner un homomorphisme F(X) → A revient à indiquer les images des générateurs de X ; cela simplifie les constructions et les preuves en réduisant les vérifications aux générateurs. Catégoriquement, les algèbres libres fournissent des adjoints à gauche et gouvernent les présentations par générateurs.

Inversion

Quotienter une algèbre libre par des relations non triviales produit une algèbre présentée ; l'inverse de la liberté est une algèbre obtenue en imposant des relations, qui perd la propriété d'extension unique.

Limite

La liberté s'énonce toujours relativement à une signature et à une variété (classe équationnelle) ; une algèbre libre dans une variété n'est pas forcément libre dans une autre. La génération finie n'implique pas la liberté, et la liberté est une propriété universelle, non simplement de cardinalité ou de projectivité, sauf coincidences particulières.

Tension sémantique

La confusion fréquente concerne 'libre' versus 'projectif' ou 'algèbre libre' versus 'module libre' : la projectivité est une propriété de relèvement, la liberté est une propriété universelle depuis un ensemble de générateurs. On confond aussi parfois l'existence d'un adjoint à gauche avec la construction explicite par termes.

Synthèse

L'algèbre libre réalise canoniquement un ensemble abstrait de générateurs au sein d'une variété : c'est l'algèbre de termes qui, par sa propriété universelle, engendre tous les homomorphismes définis par images des générateurs, et ses quotients donnent toutes les algèbres présentées de la variété.