Eine Algebra in gegebener Signatur und Varietät, erzeugt von einer Menge freier Erzeuger ohne definierende Relationen außer den durch Signatur und Varietät vorgegebenen Identitäten; äquivalent ein Objekt F(X) mit Einbettung der Erzeugermenge X, so dass jede Abbildung X → A in eine Algebra A derselben Varietät eindeutig zu einem Homomorphismus F(X) → A erweitert wird.

Prinzip

Die universelle Abbildungseigenschaft: Freisein ist durch das Adjunktsein links zum Vergissfunktor nach Set gekennzeichnet, daher werden Homomorphismen aus der freien Algebra durch die Bilder der Erzeuger eindeutig bestimmt.

Demonstration

In der Varietät der Gruppen ist die freie Gruppe auf einem Erzeuger isomorph zu den ganzen Zahlen unter Addition; in der Varietät unitaler assoziativer Algebren über einem Körper ist die freie Algebra auf X die nichtkommutative Polynom-/Tensoralgebra über X. Konkret ist die Termaalgebra zu einer Signatur Σ und Erzeugermenge X die Menge aller aus X gebildeten Σ-Terme.

Fehlanwendung

Zu behaupten, jede algebra mit markierter Erzeugermenge sei 'frei', ohne die universelle Erweiterungseigenschaft zu prüfen, oder Freisein unabhängig von Varietät/Signatur anzunehmen (z. B. ein freies Modul fälschlich als freie Algebra zu bezeichnen).

Konsequenz

Für eine freie Algebra F(X) entspricht die Angabe eines Homomorphismus F(X) → A genau der Angabe der Bilder der Erzeuger in X; dies vereinfacht Konstruktionen, da Prüfungen auf Generatoren reduziert werden. Kategorisch liefern freie Algebren linke Adjunkte und steuern Präsentationen.

Umkehrung

Das Faktorisieren einer freien Algebra durch nichttriviale Relationen ergibt eine präsentierte Algebra; die Umkehrung von Freisein ist eine durch Relationen eingeschränkte Algebra, die die eindeutige Erweiterung verliert.

Abgrenzung

Freisein ist stets relativ zur Signatur und zur Varietät anzugeben; eine in einer Varietät freie Algebra ist in einer anderen möglicherweise nicht frei. Endliche Erzeugbarkeit impliziert nicht Freisein; Freisein ist eine universelle Eigenschaft, nicht nur eine Frage der Mächtigkeit oder Projektivität.

Semantische Spannung

Häufige Verwechslungen bestehen zwischen 'frei' und 'projektiv' sowie zwischen freier Algebra und freiem Modul: Projektivität ist eine Hebeeigenschaft, Freisein eine universelle Abbildungseigenschaft. Man verwechselt auch die Existenz eines linken Adjunkten mit einer expliziten Termkonstruktion.

Synthese

Die freie Algebra ist die kanonische termbasierte Realisierung einer abstrakten Erzeugermenge in einer Varietät: sie ist die Termaalgebra, die durch die universelle Eigenschaft alle Homomorphismen aus Generatorbildern erzeugt, und deren Quotienten alle präsentierten Algebren der Varietät liefern.