Una estructura algebraica en una firma y variedad dadas, generada por un conjunto de generadores libres sin relaciones definitorias salvo las identidades impuestas por la firma y la variedad; equivalentemente, un objeto F(X) con inclusión del conjunto generador X tal que toda función de X en cualquier álgebra A de la misma variedad se extiende de manera única a un homomorfismo F(X) → A.

Principio

La propiedad universal de extensión: la libertad se caracteriza por ser adjunto a la izquierda del functor olvido hacia Set, de modo que los homomorfismos desde el álgebra libre están determinados por las imágenes de los generadores.

Demostración

En la variedad de grupos, el grupo libre en un generador es isomorfo a los enteros bajo suma; en la variedad de álgebras asociativas unitarias sobre un cuerpo, el álgebra libre sobre X es la álgebra de polinomios no conmutativos (álgebra tensorial) generada por X. Concretamente, el álgebra de términos para una firma Σ y conjunto X consiste en todos los términos Σ construidos a partir de X.

Aplicación incorrecta

Llamar 'libre' a cualquier álgebra con un conjunto distinguido de generadores sin verificar la propiedad universal de extensión, o asumir libertad sin referirse a la firma/variedad (por ejemplo llamar 'álgebra libre' a un módulo libre sin comprobar el contexto).

Consecuencia

Dado F(X) libre, especificar un homomorfismo F(X) → A equivale a especificar las imágenes de los generadores en X; esto reduce construcciones y pruebas a verificaciones sobre generadores. Categóricamente, las álgebras libres proporcionan adjuntos a la izquierda y organizan las presentaciones por generadores.

Inversión

Cocientar una álgebra libre mediante relaciones no triviales produce una álgebra presentada; la inversión de la libertad es una álgebra con relaciones impuestas que pierde la propiedad de extensión única.

Límite

La libertad debe enunciarse respecto a una firma y una variedad; un álgebra libre en una variedad puede no serlo en otra. Ser finitamente generada no implica ser libre; la libertad es una propiedad universal, no una cuestión de cardinalidad o de proyectividad salvo en casos concretos.

Tensión semántica

Existe confusión entre 'libre' y 'proyectivo' o entre álgebra libre y módulo libre: la proyectividad es una propiedad de levantamiento, la libertad es una propiedad universal de extensión desde generadores. A veces se confunde la mera existencia de un adjunto a la izquierda con una construcción explícita por términos.

Síntesis

El álgebra libre es la realización canónica, basada en términos, de un conjunto abstracto de generadores dentro de una variedad: su propiedad universal convierte las imágenes de los generadores en la información completa para definir homomorfismos, y sus cocientes generan todas las álgebras presentadas de la variedad.