Une classe d'algèbres axiomatisable par un ensemble de phrases Horn universelles ; équivalemment, une classe close par sous-algèbres, produits directs et ultraproduits (et contenant l'algèbre triviale lorsque cela est requis).

Principe

Caractériser les classes algébriques par des identités universelles conditionnelles plutôt que par des identités pures ; la clôture par sous-structures, produits et la stabilité par ultraproduits constitue l'idée organisatrice.

Démonstration

La classe des groupes abéliens sans torsion est axiomatisable par la famille de phrases Horn universelles (n·x = 0) → x = 0 pour chaque n>0, donc c'est une quasivariété bien qu'elle ne soit pas une variété.

Mauvaise application

Supposer qu'une quasivariété est close par toutes les images homomorphes comme une variété ; les images homomorphes ne restent pas nécessairement dans une quasivariété sauf si des axiomes supplémentaires l'imposent.

Conséquence

Les quasivariétés admettent des algèbres libres relatives (objets libres dans la classe) et sont stables par des constructions modèle-théoriques comme les ultraproduits ; elles captent précisément les classes de modèles des théories Horn universelles.

Inversion

Une variété est la notion plus forte obtenue lorsque les axiomes peuvent se prendre comme de pures équations ; les variétés sont des quasivariétés qui sont en outre closes par images homomorphes.

Limite

N'inclut que des classes définissables par des phrases Horn universelles ; exclut les propriétés nécessitant des axiomes existentiels ou des conditions du premier ordre rompant la clôture par sous-algèbres ou produits.

Tension sémantique

Entre quasivariété et pseudovariété : les quasivariétés admettent des algèbres infinies et la clôture par ultraproduits, tandis que les pseudovariétés se restreignent aux algèbres finies et à la clôture par produits finis et quotients, menant à des applications distinctes.

Synthèse

Une quasivariété est la classe de clôture modèle-théorique engendrée par des axiomes Horn universels : elle généralise les variétés en admettant des contraintes conditionnelles, fournit des objets libres relatifs et constitue le cadre sémantique naturel des théories Horn universelles.