Eine Klasse von Algebren, die durch eine Menge universeller Horn-Sätze axiomatisierbar ist; äquivalent ist es eine Klasse, die unter Teilalgebren, direkten Produkten und Ultraprodukten abgeschlossen ist (und falls erforderlich die triviale Algebra enthält).

Prinzip

Algebraische Klassen durch bedingte universelle Identitäten statt durch reine Identitäten charakterisieren; Abschluss unter Teilstrukturen und Produkten sowie Erhaltung unter Ultraprodukten ist das ordnende Prinzip.

Demonstration

Die Klasse der torsionsfreien abelschen Gruppen ist durch die Familie universeller Horn-Sätze (n·x = 0) → x = 0 für jedes natürliche n>0 axiomatisierbar, somit eine Quasivarietät, aber keine Varietät.

Fehlanwendung

Zu vermuten, eine Quasivarietät sei wie eine Varietät unter homomorphen Bildern abgeschlossen; homomorphe Bilder müssen nicht in einer Quasivarietät verbleiben, sofern nicht zusätzliche Axiome dies erzwingen.

Konsequenz

Quasivarietäten besitzen relative freie Algebren (freie Objekte in der Klasse) und sind stabil unter modelltheoretischen Konstruktionen wie Ultraprodukten; sie bilden genau die Modellscharen universeller Horn-Theorien.

Umkehrung

Eine Varietät ist die stärkere Erscheinungsform, wenn die Axiome als reine Gleichungen formuliert werden können; Varietäten sind Quasivarietäten, die zusätzlich unter homomorphen Bildern abgeschlossen sind.

Abgrenzung

Begrenzt auf Klassen, die durch universelle Horn-Sätze definierbar sind; schließt Eigenschaften aus, die existenzielle Axiome oder allgemeinere erste-Ordnung-Bedingungen erfordern und die Abschlüsse unter Teilalgebren oder Produkten verletzen.

Semantische Spannung

Zwischen Quasivarietät und Pseudovarietät: Quasivarietäten erlauben unendliche Algebren und Abschluss unter Ultraprodukten, während Pseudovarietäten sich auf endliche Algebren und Abschluss unter endlichen Produkten und Quotienten beschränken, was unterschiedliche Anwendungen zur Folge hat.

Synthese

Eine Quasivarietät ist die modelltheoretische Abschlussklasse, die durch universelle Horn-Axiome erzeugt wird: sie verallgemeinert Varietäten durch bedingte Einschränkungen, liefert relative freie Objekte und ist das natürliche semantische Zuhause universeller Horn-Theorien.