Una clase de álgebras axiomatizable por un conjunto de oraciones Horn universales; equivalentemente, una clase cerrada bajo toma de subálgebras, productos directos y ultraproductos (y que contiene el álgebra trivial cuando corresponde).

Principio

Caracterizar clases algebraicas mediante identidades universales condicionales en lugar de puras identidades; la idea organizadora es el cierre por subestructuras y productos y la preservación por ultraproductos.

Demostración

La clase de grupos abelianos sin torsión es axiomatizable por la familia de oraciones Horn universales (n·x = 0) → x = 0 para cada n>0, por lo que es una cuasivariedad aunque no una variedad.

Aplicación incorrecta

Suponer que una cuasivariedad está cerrada por todas las imágenes homomorfas como una variedad; las imágenes homomorfas no tienen por qué permanecer en una cuasivariedad salvo que axiomas adicionales lo garanticen.

Consecuencia

Las cuasivariedades admiten álgebras libres relativas (objetos libres en la clase) y son estables frente a construcciones model-teóricas como ultraproductos; capturan exactamente las clases de modelos de teorías Horn universales.

Inversión

Una variedad es la noción más fuerte que se obtiene cuando los axiomas pueden ser tomados como ecuaciones puras; las variedades son cuasivariedades que además están cerradas por imágenes homomorfas.

Límite

Incluye solo clases definibles por oraciones Horn universales; excluye propiedades que requieran axiomas existenciales o condiciones de primer orden completas que rompan el cierre por subálgebras o productos.

Tensión semántica

Entre cuasivariedad y pseudovariedad: las cuasivariedades permiten álgebras infinitas y cierre por ultraproductos, mientras que las pseudovariedades se restringen a álgebras finitas y cierre por productos finitos y cocientes, lo que conduce a aplicaciones distintas.

Síntesis

Una cuasivariedad es la clase de cierre model-teórico generada por axiomas Horn universales: generaliza variedades al admitir restricciones condicionales, proporciona objetos libres relativos y es el hábitat semántico natural de las teorías Horn universales.