Critère en théorie des représentations affirmant que, pour un groupe fini G et un corps k dont la caractéristique ne divise pas |G|, l'algèbre de groupe k[G] est semi-simple ; de façon équivalente, toute représentation finie-dimensionnelle de G sur k se décompose en somme directe de représentations irréductibles.

Principe

Si l'ordre du groupe est inversible dans le corps de base, on peut moyenniser les endomorphismes sur G pour obtenir des compléments invariants par G, garantissant la décomposabilité complète des modules sur l'algèbre de groupe.

Démonstration

Sur les complexes (caractéristique 0), toute représentation finie d'un groupe fini se décompose en irréductibles ; concrètement, la représentation régulière C[G] se scinde en sommes d'algèbres matricielles correspondant aux caractères irréductibles, car (1/|G|)·∑_{g∈G} permet de construire les projecteurs sur les composantes isotypiques.

Mauvaise application

Appliquer la décomposition de Maschke en situation modulaire (lorsque char(k) divise |G|) conduit à des erreurs : les modules indécomposables peuvent ne pas être irréductibles et le moyen de moyennisation par 1/|G| n'est pas valable.

Conséquence

Lorsque les hypothèses sont satisfaites, la théorie des représentations de G se réduit à l'étude des modules simples et de leurs algèbres matricielles ; l'algèbre de groupe a un radical de Jacobson nul et satisfait la structure d'Artin–Wedderburn, ce qui simplifie la classification des représentations et des caractères.

Inversion

Si char(k) divise |G|, k[G] peut avoir un radical non nul et les modules ne se scindent pas en général ; la théorie modulaire des représentations met alors en jeu des extensions, des recouvrements projectifs et des modules indécomposables non simples.

Limite

S'applique aux algèbres de groupe de groupes finis et aux représentations de dimension finie sur des corps ; ne couvre pas les groupes infinis, les représentations de dimension infinie ni les corps dont la caractéristique divise l'ordre du groupe.

Tension sémantique

Le théorème de Maschke est parfois confondu avec des critères généraux de semi-simplicité pour les algèbres (par exemple Artin–Wedderburn) ; la tension tient à l'opposition entre une condition arithmétique (inversibilité de |G|) et des notions structurelles plus générales de semi-simplicité.

Synthèse

Le théorème de Maschke relie une hypothèse arithmétique simple (l'ordre du groupe est une unité dans le corps) à une conclusion structurelle forte (semi-simplicité de k[G] et décomposabilité complète des représentations), réalisée concrètement par la moyennisation pour obtenir des compléments invariants.