Ein Kriterium der Darstellungstheorie, das besagt: Für eine endliche Gruppe G und einen Körper k, dessen Charakteristik |G| nicht teilt, ist die Gruppenalgebra k[G] semisimpel; äquivalent zerlegt jede endlich-dimensionale k-Darstellung von G als direkte Summe irreduzibler Darstellungen.

Prinzip

Ist die Gruppengröße im Grundkörper invertierbar, so erlaubt das Aufsummieren über G die Konstruktion G-invarianter Komplemente (Mittelungsoperator), wodurch vollständige Reduzierbarkeit der Module über der Gruppenalgebra entsteht.

Demonstration

Über den komplexen Zahlen (Charakteristik 0) zerfällt jede Darstellung einer endlichen Gruppe in irréduzible Komponenten; konkret zerlegt sich die reguläre Darstellung C[G] in eine Summe von Matrixalgebren zugehörig zu irreduziblen Charakteren, weil (1/|G|)·∑_{g∈G} Projektionen auf isotypische Komponenten liefert.

Fehlanwendung

Maschkes Zerlegung in der modularen Situation anzuwenden (wenn char(k) | |G|) führt zu falschen Schlüssen: Indekomposable Moduln müssen nicht irreduzibel sein und das Mittelungsargument mit 1/|G| bricht zusammen.

Konsequenz

Unter den Voraussetzungen reduziert sich die Darstellungstheorie von G auf die Untersuchung einfacher Moduln und zugehöriger Matrixalgebren; die Gruppenalgebra hat radikal 0 und erfüllt die Artin–Wedderburn-Struktur, was die Klassifikation von Darstellungen und Charakteren vereinfacht.

Umkehrung

Falls char(k) | |G|, kann k[G] einen nichttrivialen Radikal besitzen und Module zerfallen im Allgemeinen nicht; die modulare Darstellungstheorie erfordert dann Betrachtung von Erweiterungen, projektiven Hüllen und nicht einfachen Indekompositen.

Abgrenzung

Gilt für Gruppenalgebren endlicher Gruppen und endlich-dimensionale Darstellungen über Körpern; nicht anwendbar auf unendliche Gruppen, unendlich-dimensionale Darstellungen oder Körper, deren Charakteristik das Gruppenmaß teilt.

Semantische Spannung

Der Maschke-Satz wird oft mit allgemeinen Semisimpleitätskriterien für Algebren (z. B. Artin–Wedderburn) verwechselt; die Spannungsquelle ist die Diskrepanz zwischen der arithmetischen Invertierbarkeitsbedingung und allgemeinen strukturellen Semisimpleitätsbegriffen.

Synthese

Der Maschke-Satz verknüpft eine einfache arithmetische Bedingung (|G| ist eine Einheit im Körper) mit einer starken strukturellen Konsequenz (Semisimplizität von k[G] und vollständige Reduzierbarkeit von Darstellungen), konkret umgesetzt durch Mittelung zur Erzeugung invarianter Komplemente.