Un criterio en teoría de representaciones que afirma que para un grupo finito G y un cuerpo k cuya característica no divide |G|, la álgebra de grupo k[G] es semisimple; equivalente, toda representación finito-dimensional de G sobre k se descompone en suma directa de representaciones irreducibles.

Principio

Si el orden del grupo es invertible en el cuerpo base, se puede promediar sobre G para obtener complementos invariantes, asegurando la reducibilidad completa de los módulos sobre la álgebra de grupo.

Demostración

Sobre los números complejos (característica 0) cualquier representación finita de un grupo finito se descompone en irreducibles; concretamente, la representación regular C[G] se divide en sumas de álgebras matriciales correspondientes a caracteres irreducibles, porque (1/|G|)·∑_{g∈G} produce proyectores sobre las componentes isotípicas.

Aplicación incorrecta

Suponer la descomposición de Maschke en el caso modular (cuando char(k) divide |G|) conduce a conclusiones erróneas: los módulos indecomponibles pueden no ser irreducibles y el promediado por 1/|G| no es válido.

Consecuencia

Cuando se cumplen las hipótesis, la teoría de representaciones de G se reduce al estudio de los módulos simples y sus álgebras matriciales; la álgebra de grupo tiene radical de Jacobson nulo y satisface la estructura de Artin–Wedderburn, lo que facilita la clasificación de representaciones y caracteres.

Inversión

Si char(k) divide |G|, k[G] puede tener un radical no nulo y los módulos no se dividen en general; en teoría modular aparecen extensiones, cubiertas proyectivas y indecomponibles no simples.

Límite

Se aplica a álgebras de grupo de grupos finitos y representaciones de dimensión finita sobre cuerpos; no abarca grupos infinitos, representaciones de dimensión infinita ni cuerpos cuya característica divida el orden del grupo.

Tensión semántica

El teorema de Maschke suele confundirse con criterios generales de semisimplicidad para álgebras (por ejemplo Artin–Wedderburn); la tensión aparece entre una condición aritmética (invertibilidad de |G|) y nociones estructurales más generales de semisimplicidad.

Síntesis

El teorema de Maschke enlaza una hipótesis aritmética sencilla (el orden del grupo es unidad en el cuerpo) con una conclusión estructural potente (semisimplicidad de k[G] y reducibilidad completa de las representaciones), realizado de forma concreta mediante el promediado para obtener complementos invariantes.