Énoncé selon lequel toute matrice carrée sur un anneau commutatif (en particulier sur un corps) satisfait son propre polynôme caractéristique : si p(λ)=det(λI−A) alors p(A)=0 lorsqu'on évalue p en remplaçant λ par la matrice A.

Principe

Remplacer la variable par la matrice dans son polynôme caractéristique donne la matrice nulle parce que le polynôme annule la transformation linéaire représentée par la matrice.

Démonstration

Pour une matrice 2×2 A = [[a,b],[c,d]], le polynôme caractéristique p(λ)=λ^2−(a+d)λ+(ad−bc) ; Cayley–Hamilton affirme que p(A)=A^2−(a+d)A+(ad−bc)I = 0, identité matricielle vérifiable par calcul direct.

Mauvaise application

Substituer A dans un polynôme dont les coefficients ne commutent pas avec A (anneau non commutatif) sans vérifier la centralité, ou confondre l'évaluation d'un polynôme scalaire en A avec une substitution scalaire point par point.

Conséquence

Permet d'exprimer des puissances élevées de A comme polynômes de degré plus faible en A, offre une voie pour calculer des fonctions de matrices et des inverses (si inversibles) par réduction polynomiale, et relie polynôme caractéristique et polynôme minimal.

Inversion

La réciproque n'est pas automatique : un polynôme q tel que q(A)=0 n'est pas nécessairement le polynôme caractéristique ; il doit diviser le polynôme minimal, lui-même diviseur du polynôme caractéristique.

Limite

Le théorème s'énonce classiquement pour des matrices sur des anneaux commutatifs et des corps ; les extensions aux anneaux non commutatifs exigent de la prudence quant à l'ordre de multiplication et à la centralité des coefficients. Il suppose l'existence d'un polynôme caractéristique bien défini.

Tension sémantique

Tension entre polynôme caractéristique et polynôme minimal : Cayley–Hamilton assure que le polynôme caractéristique annule la matrice, mais le polynôme minimal, plus petit, fournit souvent une information plus précise sur la dynamique de l'opérateur.

Synthèse

Cayley–Hamilton unifie la structure de l'algèbre linéaire en affirmant que le polynôme caractéristique annule sa matrice, permettant la réduction algébrique des puissances matricielles et faisant le lien entre invariants déterminantiels et annihilateurs opératoires.