Afirmación de que toda matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo (en particular sobre un cuerpo) satisface su propio polinomio característico: si p(λ)=det(λI−A) entonces p(A)=0 al evaluar p sustituyendo la variable por la matriz.

Principio

Sustituir la matriz en su polinomio característico produce la matriz cero porque ese polinomio anula la transformación lineal representada por la matriz.

Demostración

Para una matriz 2×2 A = [[a,b],[c,d]], su polinomio característico p(λ)=λ^2−(a+d)λ+(ad−bc); Cayley–Hamilton afirma p(A)=A^2−(a+d)A+(ad−bc)I = 0, identidad matricial que puede comprobarse por cálculo explícito.

Aplicación incorrecta

Introducir A en un polinomio cuyos coeficientes no conmutan con A (anillo no conmutativo) sin comprobar la centralidad, o confundir la evaluación de un polinomio escalar en A con sustituciones escalares punto a punto.

Consecuencia

Permite expresar potencias altas de A como polinomios de grado menor en A, facilita el cálculo de funciones de matrices e inversas (cuando son invertibles) mediante reducción polinómica, y conecta el polinomio característico con el polinomio minimal.

Inversión

La conversión no es automática: un polinomio q con q(A)=0 no tiene por qué ser el polinomio característico; debe dividir al polinomio minimal, que a su vez divide al característico.

Límite

El teorema clásico se formula para matrices sobre anillos conmutativos y cuerpos; las extensiones a anillos no conmutativos requieren cuidado sobre el orden de multiplicación y la centralidad de los coeficientes. Presupone un polinomio característico bien definido.

Tensión semántica

Tensión entre el polinomio característico y el polinomio minimal: Cayley–Hamilton garantiza que el característico anula la matriz, pero el minimal suele ser el invariante más preciso para el comportamiento dinámico del operador.

Síntesis

Cayley–Hamilton unifica invariantes determinánticos y la anulación operativa: el polinomio característico anula a la matriz, permitiendo reducir algebraicamente potencias y computar funciones de matriz mediante polinomios.