Definition
Die Aussage, dass jede quadratische Matrix über einem kommutativen Ring (insbesondere über einem Körper) ihr eigenes charakteristisches Polynom erfüllt: ist p(λ)=det(λI−A), so gilt p(A)=0 bei Einsetzen der Matrix für λ.
Prinzip
Prinzip
Das Einsetzen der Matrix in ihr charakteristisches Polynom ergibt die Nullmatrix, weil das Polynom die durch die Matrix repräsentierte lineare Abbildung annulliert.
Demonstration
Demonstration
Für eine 2×2-Matrix A = [[a,b],[c,d]] ist p(λ)=λ^2−(a+d)λ+(ad−bc); der Cayley–Hamilton-Satz besagt p(A)=A^2−(a+d)A+(ad−bc)I = 0, eine explizite Matrixidentität, die sich direkt nachrechnen lässt.
Fehlanwendung
Fehlanwendung
Das Einsetzen von A in ein Polynom mit Koeffizienten, die nicht mit A kommutieren (nichtkommutativer Ring), ohne Zentralität zu prüfen, oder Verwechslung der Auswertung eines skalaren Polynoms in A mit punktweiser Substitution von Skalaren.
Konsequenz
Konsequenz
Ermöglicht, höhere Potenzen von A als Polynome geringeren Grades in A auszudrücken, bietet eine Methode zur Berechnung von Matrixfunktionen und Inversen (falls invertierbar) durch polynomiale Reduktion und verbindet charakteristisches und minimales Polynom.
Umkehrung
Umkehrung
Die Umkehrung gilt nicht automatisch: Ein Polynom q mit q(A)=0 ist nicht notwendigerweise das charakteristische Polynom; es muss das minimale Polynom teilen, das wiederum das charakteristische teilt.
Abgrenzung
Abgrenzung
Der klassische Satz gilt für Matrizen über kommutativen Ringen und Körpern; für Matrizen über nichtkommutativen Ringen ist Vorsicht geboten hinsichtlich Multiplikationsordnung und Zentralität der Koeffizienten. Er setzt ein wohldefiniertes charakteristisches Polynom voraus.
Semantische Spannung
Semantische Spannung
Spannung zwischen charakteristischem Polynom und minimalem Polynom: Cayley–Hamilton garantiert Annullierung durch das charakteristische Polynom, doch das minimale Polynom ist oft das feinere Invariant für das Operatorverhalten.
Synthese
Synthese
Der Cayley–Hamilton-Satz verbindet determinantielle Invarianten mit operator-theoretischer Annullierung: das charakteristische Polynom annihiliert die Matrix, was die algebraische Reduktion von Potenzen und die Berechnung von Matrixfunktionen ermöglicht.