Le socle d'un module ou d'un anneau est la somme de tous ses sous-modules non nuls minimaux (ou idéaux minimaux) ; c'est le plus grand sous-objet semisimple contenu dans le module et il s'identifie à la somme directe de tous les sous-modules simples.

Principe

Les sous-modules non nuls minimaux sont simples ; leur somme donne un sous-module semisimple maximal car ajouter un autre sous-module simple reste semisimple ; le socle recueille ainsi toutes ces composantes simples situées au « bas » du module.

Démonstration

Pour une algèbre de dimension finie sur un corps, le socle du module régulier est la somme de toutes les idéaux simples à gauche ; pour k[x]/(x^n) le socle est l'espace engendré par x^{n−1}, un sous-module simple de dimension 1.

Mauvaise application

Employer « socle » pour désigner le radical ou le confondre avec le top (quotient semisimple maximal) d'un module ; supposer à tort que le socle est non nul pour des modules sans sous-modules simples.

Conséquence

Connaître le socle aide à déterminer les extensions, les recouvrements projectifs et les couches de Loewy ; un socle volumineux simplifie souvent la classification car il fournit des sommes directes semisimpless immédiates et contraint la structure possible des modules.

Inversion

La notion duale est le radical ou le top : alors que le socle rassemble les sous-modules simples minimaux en bas, le top (la tête) est le quotient semisimple maximal en haut ; un socle nul signifie l'absence de sous-modules simples.

Limite

Défini dans des catégories abéliennes où existent objets simples et sommes directes, typiquement les modules sur des anneaux et les représentations d'algèbres ; il n'a pas de sens dans des contextes dépourvus de notion d'objet simple ou de sommes directes.

Tension sémantique

Tension avec la dichotomie radical/top : les deux sont liés à la semisimplification mais situés en positions opposées dans une filtration ; proche aussi de la notion de châsse injective (enveloppe injective) puisque le socle s'y plonge naturellement.

Synthèse

Le socle est le sous-objet semisimple maximal obtenu en sommant tous les sous-modules simples ; il constitue la couche de base d'une décomposition semisimple d'un module et oriente l'analyse structurelle et homologique.