Der Socle (Sokel) eines Moduls oder Rings ist die Summe aller minimalen nichtverschwindenden Untermoduln (bzw. minimalen Ideale); er ist das größte semisimple Teilobjekt im Modul und entspricht der direkten Summe aller einfachen Untermoduln.

Prinzip

Minimale nichtverschwindende Untermoduln sind einfach; ihre Summe ergibt ein maximal semisimpel Untermodul, denn das Hinzufügen weiterer einfacher Untermoduln bleibt semisimplizierend; der Socle sammelt alle einfachen Bestandteile an der 'Basis' des Moduls.

Demonstration

Für eine endlichdimensionale Algebra über einem Körper ist der Socle des regulären Moduls die Summe aller einfachen linken Ideale; für k[x]/(x^n) ist der Socle der von x^{n−1} erzeugte Unterraum, ein eindimensionales einfaches Untermodul.

Fehlanwendung

Den Socle mit dem Radikal zu verwechseln oder ihn mit dem Top (dem maximal semisimplen Quotienten) eines Moduls gleichzusetzen; fälschlicherweise anzunehmen, der Socle sei stets nicht null, obwohl es Module ohne einfache Untermoduln gibt.

Konsequenz

Die Kenntnis des Socle hilft bei der Bestimmung von Extensionsgrupppen, projektiven Hüllen und Loewy-Schichten; ein großer Socle erleichtert oft die Klassifikation, da er sofort semisimple Summanden liefert und die Modulstruktur einschränkt.

Umkehrung

Die duale Vorstellung ist der Radikal bzw. das Top: während der Socle die minimalen einfachen Untermoduln am Boden sammelt, ist das Top der maximale semisimple Quotient oben; ein verschwindender Socle bedeutet, dass keine einfachen Untermoduln vorhanden sind.

Abgrenzung

Definiert in abelschen Kategorien, in denen einfache Objekte und direkte Summen existieren, typischerweise bei Moduln über Ringen und Darstellungen von Algebren; in Kontexten ohne Begriff einfacher Objekte oder ohne direkte Summen ist er nicht sinnvoll.

Semantische Spannung

Spannungen bestehen im Gegensatz zwischen Radikal und Top: beide beziehen sich auf Semisimplifizierung, stehen aber in entgegengesetzten Positionen innerhalb einer Filtration; zudem besteht Nähe zu injektiven Hüllen, da der Socle in diese hineinjiziert.

Synthese

Der Socle ist das maximale semisimple Teilobjekt, das durch Summation aller einfachen Untermoduln entsteht; er bildet die fundamentale 'unterste Schicht' der semisimplen Zerlegung eines Moduls und lenkt strukturelle wie homologische Betrachtungen.