El socle de un módulo o anillo es la suma de todos sus submódulos no nulos mínimos (o ideales mínimos); es el mayor subobjeto semisimple contenido en el módulo y equivale a la suma directa de todos los submódulos simples.

Principio

Los submódulos no nulos mínimos son simples; su suma produce un submódulo semisimple máximo porque añadir cualquier otro submódulo simple mantiene la semisimplicidad; el socle recoge todos esos constituyentes simples en el 'fondo' del módulo.

Demostración

Para una álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo, el socle del módulo regular es la suma de todos los ideales izquierdos simples; para k[x]/(x^n) el socle es el subespacio generado por x^{n−1}, un submódulo simple de dimensión uno.

Aplicación incorrecta

Usar 'socle' para referirse al radical o confundirlo con la cabeza (top) del módulo; asumir erróneamente que el socle es no nulo en módulos que no tienen submódulos simples.

Consecuencia

Conocer el socle ayuda a determinar extensiones, cubiertas proyectivas y capas de Loewy; un socle grande suele simplificar la clasificación porque proporciona sumas directas semisimples inmediatas y restringe la estructura posible del módulo.

Inversión

La noción dual es el radical o la cabeza: mientras el socle agrupa submódulos simples mínimos en la base, la cabeza es el cociente semisimple máximo en la parte superior; un socle nulo indica ausencia de submódulos simples.

Límite

Se define en categorías abelianas donde existen objetos simples y sumas directas, típicamente módulos sobre anillos y representaciones de álgebras; no tiene sentido en contextos sin noción de objeto simple o sumas directas.

Tensión semántica

Existe tensión con la dicotomía radical/cabeza: ambos se relacionan con la semisimplificación pero ocupan posiciones opuestas en una filtración; también está próximo a la envolvente inyectiva, dado que el socle se inserta en ella.

Síntesis

El socle es el subobjeto semisimple máximo formado por la suma de todos los submódulos simples; constituye la capa basal de la descomposición semisimple de un módulo y guía el análisis estructural y homológico.