Le nombre de couches non nulles dans la suite de Loewy (suite radicielle) d'un module ou d'une algèbre : le plus petit entier n tel que le n-ième terme de la suite de Loewy coïncide avec le module entier, mesurant la profondeur des quotients radiciels successifs jusqu'à obtention d'un objet semisimple.

Principe

À partir du socle et en itérant la formation des quotients par le radical (ou en itérant d'un autre côté les puissances du radical), la suite de Loewy stratifie un module en couches semisimples ; la longueur de Loewy compte ces couches et traduit la distance à la semisimplicité.

Démonstration

Sur l'algèbre locale Artinienne k[x]/(x^n), le module régulier a longueur de Loewy n car les puissances successives du radical (engendré par x) produisent n couches non nulles avant d'atteindre zéro ; un module semisimple a longueur de Loewy 1.

Mauvaise application

Confondre la longueur de Loewy avec la longueur de composition (qui compte les facteurs simples d'une série de composition) ou employer la longueur de Loewy sans vérifier que le module est Artinien (la suite de Loewy peut ne pas se stabiliser sinon).

Conséquence

Une longueur de Loewy finie implique une structure Artinienne (et souvent noethérienne) avec une filtration semisimple finie ; connaître la longueur de Loewy contraint les groupes d'extensions et les dimensions homologiques et oriente la classification des modules.

Inversion

Une longueur de Loewy infinie correspond à des modules dont la série radicale ne termine pas, signalant une structure non semisimple de profondeur infinie ; l'extrême opposé, longueur 1, est la semisimplicité.

Limite

S'applique aux modules sur des anneaux où les radicaux et les socles sont bien définis, typiquement les anneaux Artiniens et les algèbres de dimension finie ; exclut les modules généraux sur des anneaux ayant des chaînes descendantes infinies ou sans série radicielle finie.

Tension sémantique

Concurrente de la longueur de composition et des indices de nilpotence du radical : la longueur de Loewy mesure la stratification semisimple tandis que la longueur de composition compte les facteurs simples ; les deux sont liés mais renseignent différemment.

Synthèse

La longueur de Loewy est le nombre fini de couches semisimples obtenues par itération des constructions socle/radiciel, fournissant une mesure de profondeur de la décomposition d'un module en parts semisimples successives.