El número de capas no nulas en la serie de Loewy (serie radical) de un módulo o álgebra: el menor entero n tal que el n-ésimo término de la serie de Loewy es igual al módulo completo, midiendo la profundidad de los cocientes radicales sucesivos hasta alcanzar un objeto semisimple.

Principio

Partiendo del soclo e iterando la formación de cocientes sucesivos por el radical (o, dualmente, iterando potencias del radical), la serie de Loewy estratifica un módulo en capas semisimples; la longitud de Loewy cuenta estas capas y refleja cuánto se aleja el módulo de ser semisimple.

Demostración

Sobre la álgebra local artiniana k[x]/(x^n), el módulo regular tiene longitud de Loewy n porque las potencias sucesivas del radical (generado por x) producen n capas no nulas antes de llegar a cero; un módulo semisimple tiene longitud de Loewy 1.

Aplicación incorrecta

Confundir la longitud de Loewy con la longitud de composición (que cuenta factores simples en una serie de composición) o usar la longitud de Loewy sin asegurar que el módulo sea artiniano, donde la serie de Loewy puede no estabilizarse.

Consecuencia

La longitud de Loewy finita implica una estructura artiniana (y a menudo noetheriana) con una filtración semisimple finita; conocerla restringe grupos de extensiones y dimensiones homológicas y orienta la clasificación de módulos.

Inversión

Longitud de Loewy infinita corresponde a módulos cuya serie radical no termina, indicando una estructura no semisimple de profundidad infinita; en el extremo opuesto, longitud 1 equivale a semisimplicidad.

Límite

Se aplica a módulos sobre anillos donde los radicales y soclos están bien comportados, típicamente anillos artinianos y álgebras de dimensión finita; excluye módulos generales sobre anillos con cadenas descendentes infinitas o sin serie radical finita.

Tensión semántica

Compite con la longitud de composición y los índices de nilpotencia del radical: la longitud de Loewy mide la estratificación semisimple mientras que la longitud de composición cuenta factores simples; ambos están relacionados pero dan información diferente.

Síntesis

La longitud de Loewy es el número finito de capas semisimples obtenidas por iteración de las construcciones de soclo/radical, proporcionando una medida de profundidad de cómo un módulo se descompone en piezas semisimples sucesivas.