Die Anzahl der nichtverschwindenden Schichten in der Loewy-(Radikal-)Serie eines Moduls oder einer Algebra: die kleinste ganze Zahl n, so dass das n-te Glied der Loewy-Serie dem gesamten Modul entspricht und damit die Tiefe der sukzessiven radikalquotienten bis zum Erreichen eines semisimple Objekts misst.

Prinzip

Ausgehend vom So­kel und durch Iteration der Bildung von Quotienten durch den Radikal (oder dual durch Iteration der Radikalpotenzen) schichtet die Loewy-Serie ein Modul in semisimple Lagen; die Loewy-Länge zählt diese Lagen und erfasst, wie weit das Modul von Semisimplizität entfernt ist.

Demonstration

Über der lokalen Artin-Algebra k[x]/(x^n) hat das reguläre Modul Loewy-Länge n, weil aufeinanderfolgende Potenzen des Radikals (erzeugt durch x) n nichtverschwindende Schichten erzeugen, bevor Null erreicht wird; ein semis simples Modul hat Loewy-Länge 1.

Fehlanwendung

Die Loewy-Länge mit der Kompositionslänge zu verwechseln (die einfache Faktoren einer Kompositionsreihe zählt) oder die Loewy-Länge anzuwenden, ohne sicherzustellen, dass das Modul artinsch ist, da sich sonst die Serie nicht stabilisiert.

Konsequenz

Endliche Loewy-Länge impliziert eine artinsche (und oft noethersche) Struktur mit endlicher semisimpler Filtration; Kenntnis der Loewy-Länge beschränkt Extensionsgruppen und homologische Dimensionen und hilft bei der Klassifikation von Modulen.

Umkehrung

Unendliche Loewy-Länge steht für Module, deren Radikalserie nicht terminiert und die eine unendlich tiefe nicht-semisimple Struktur besitzen; das Gegenstück Loewy-Länge 1 bedeutet Semisimplizität.

Abgrenzung

Gilt für Module über Ringen, bei denen Radikale und Sokkeln wohlverhalten sind, typischerweise artinsche Ringe und endlich-dimensionale Algebren; ausgeschlossen sind allgemeine Module über Ringen mit unendlichen absteigenden Ketten oder ohne endliche Radikalserie.

Semantische Spannung

Steht im Spannungsverhältnis zur Kompositionslänge und zu Nilpotenzindizes des Radikals: Loewy-Länge misst geschichtete Semisimplizität, Kompositionslänge zählt einfache Faktoren; beide liefern verwandte, aber unterschiedliche Informationen.

Synthese

Die Loewy-Länge ist die endliche Zählung der semisimplen Schichten, die durch Iteration von So­kel-/Radikalkonstruktionen entstehen, und liefert ein Tiefenmaß für die sukzessive Zerlegung eines Moduls in semisimple Stücke.