La cardinalité du groupe des classes d'idéaux d'un corps de nombres ou d'un domaine de Dedekind ; il compte les classes d'équivalence des idéaux fractionnaires non nuls modulo les idéaux principaux et quantifie ainsi l'échec de la principauté de tous les idéaux.

Principe

Le groupe des classes d'idéaux est le quotient du groupe des idéaux fractionnaires par le sous-groupe des idéaux principaux ; son ordre (le nombre de classes) mesure l'obstruction à ce qu'un idéal soit principal et, partant, à la factorisation unique au niveau des éléments.

Démonstration

Pour l'anneau des entiers de Q(√−5), le nombre de classes vaut 2, illustré par des idéaux non principaux (par exemple ceux engendrés par 2 et 1+√−5), tandis que Z et l'anneau des entiers de Q(i) ont nombre de classes 1, donc tous leurs idéaux sont principaux.

Mauvaise application

Considérer le nombre de classes comme le nombre de facteurs premiers d'un élément, ou appliquer l'idée de nombre de classes à des anneaux non dedekindiens sans vérifier les hypothèses nécessaires.

Conséquence

Un nombre de classes égal à 1 implique que tout idéal non nul est principal ; un nombre de classes fini fournit une obstruction finie qui intervient dans des formules analytiques (par ex. la formule du nombre de classes) et conditionne la réussite ou l'échec de la factorisation unique des éléments.

Inversion

Un nombre de classes élevé ou infini signale de nombreuses classes d'idéaux non équivalentes et un écart prononcé par rapport au comportement principalisé ; en contraste, le cas 1 est l'obstruction minimale.

Limite

Défini pour les domaines de Dedekind et les corps de nombres (ou plus généralement pour tout anneau possédant un groupe des classes d'idéaux bien défini) ; il ne s'applique pas directement aux anneaux non commutatifs ou dépourvus d'une théorie utile des idéaux fractionnaires.

Tension sémantique

Se distingue des comptages naïfs des types de factorisation ou des invariants du groupe des unités (comme le régulateur) ; le nombre de classes étroit (narrow class number) peut différer du nombre de classes ordinaire, engendrant une notion voisine mais distincte.

Synthèse

Le nombre de classes est l'invariant cardinal fini d'un domaine de Dedekind qui encode combien de classes d'idéaux ne sont pas principales et mesure ainsi l'étendue de la rupture de la factorisation idéale unique.