La cardinalidad del grupo de clases de ideales de un cuerpo de números o dominio de Dedekind; cuenta las clases de equivalencia de ideales fraccionarios no nulos modulo ideales principales y cuantifica la falta de principialidad de los ideales.

Principio

El grupo de clases de ideales es el cociente del grupo de ideales fraccionarios por el subgrupo de ideales principales; su orden (el número de clases) mide el obstáculo para que los ideales sean principales y, por tanto, la desviación respecto a la factorización única a nivel de elementos.

Demostración

Para el anillo de enteros de Q(√−5) el número de clases es 2, manifestado por ideales no principales (por ejemplo los generados por 2 y 1+√−5), mientras que Z y el anillo de enteros de Q(i) tienen número de clases 1, de modo que todos sus ideales son principales.

Aplicación incorrecta

Confundir el número de clases con el número de factores primos de un elemento, o aplicar la noción propia de dominios de Dedekind a anillos que no cumplen las hipótesis necesarias.

Consecuencia

Un número de clases igual a 1 implica que todo ideal no nulo es principal; un número de clases finito constituye una obstrucción finita que aparece en fórmulas analíticas (como la fórmula del número de clases) y condiciona propiedades aritméticas como la factorización de elementos.

Inversión

Un número de clases grande o infinito indica muchas clases de ideales no equivalentes y un alejamiento pronunciado del comportamiento de ideales principales; en contraste, 1 es el caso de obstrucción mínima.

Límite

Se define para dominios de Dedekind y cuerpos de números (o, más generalmente, para dominios con un grupo de clases de ideales bien definido); no se aplica directamente a anillos no conmutativos ni a estructuras sin una teoría útil de ideales fraccionarios.

Tensión semántica

Se distingue de recuentos ingenuos de tipos de factorización y de invariantes del grupo de unidades (como el regulador); el número de clases estrecho puede diferir del ordinario, creando una noción cercana pero diferente.

Síntesis

El número de clases es el invariante cardinal de un dominio de Dedekind que registra cuántas clases de ideales no son principales y mide, por tanto, hasta qué punto falla la factorización ideal única.