Die Kardinalität der Idealklassengruppe eines Zahlkörpers oder Dedekindrings; sie zählt die Äquivalenzklassen der nichttrivialen gebrochenen Ideale modulo principalen Idealen und quantifiziert damit das Versagen, dass jedes Ideal principal ist.

Prinzip

Die Idealklassengruppe ergibt sich als Quotient der Gruppe der gebrochenen Ideale durch die Untergruppe der principalen Ideale; ihre Ordnung (Klassenzahl) misst das Hindernis zur Principality und damit die Abweichung von eindeutiger Faktorisierung auf Elementebene.

Demonstration

Für den Ganzheitsring von Q(√−5) beträgt die Klassenzahl 2, sichtbar an nicht-prinzipalen Idealen (beispielsweise von 2 und 1+√−5 erzeugte Ideale), während Z und der Ganzheitsring von Q(i) Klassenzahl 1 haben, also sind dort alle Ideale principal.

Fehlanwendung

Die Klassenzahl fälschlich als Anzahl der verschiedenen Primidealzerlegungen eines Elements zu interpretieren oder die Konzepte auf nicht-Dedekindringe anzuwenden, ohne die Voraussetzungen zu prüfen.

Konsequenz

Klassenzahl 1 impliziert, dass jedes von Null verschiedene Ideal principal ist; eine endliche Klassenzahl liefert eine endliche Hürde, die in der analytischen Klassenzahlformel auftaucht und die arithmetischen Eigenschaften wie das Verhalten der Faktorisierung von Elementen beeinflusst.

Umkehrung

Eine große oder unendliche Klassenzahl zeigt viele nichtäquivalente Idealklassen und somit ein deutliches Abweichen vom Prinzipalverhalten; im Gegensatz dazu steht die Klassenzahl 1 als Minimalfall der Obstruktion.

Abgrenzung

Definiert für Dedekindringe und Zahlkörper (oder allgemeiner für Ringe mit wohldefiniertem Idealklassengruppenbegriff); nicht anwendbar auf beliebige nichtkommutative Ringe oder Strukturen ohne brauchbare Theorie gebrochener Ideale.

Semantische Spannung

Unterscheidet sich von einfachen Zählungen von Faktorisierungstypen und vom Einheitsgruppeninvariant (Regulator); die enge Klassenzahl (narrow class number) kann von der gewöhnlichen Klassenzahl abweichen und stellt eine nahe, aber unterschiedliche Größe dar.

Synthese

Die Klassenzahl ist das kardinale Invariant eines Dedekindrings, das angibt, wie viele Idealklassen nicht principal sind und damit das Ausmaß des Versagens der eindeutigen idealen Faktorisierung beschreibt.