Invariante numérique (souvent multiplicité de Hilbert–Samuel) qui mesure le coefficient dominant d'un polynôme de Hilbert ou le taux de croissance asymptotique des longueurs de M/I^nM pour un idéal I primaire pour m dans un anneau local ; elle quantifie la concentration algébrique locale ou l'ordre de singularité.

Principe

Calculer la fonction de Hilbert–Samuel n ↦ longueur(M/I^nM) pour n grand ; le terme dominant du polynôme, normalisé par la factorielle de la dimension, fournit la multiplicité. La multiplicité détecte l'épaisseur d'un schéma ou module en un point.

Démonstration

Dans un anneau local régulier la multiplicité de l'idéal maximal vaut 1. Pour une singularité de courbe plane définie par y^2 - x^3, l'anneau local a multiplicité 2 (degré minimal des termes), tandis que nœud et cusp ont des multiplicités reflétant leur ordre de singularité.

Mauvaise application

Confondre la multiplicité de Hilbert–Samuel avec la multiplicité algébrique d'une racine de polynôme ou avec une multiplicité d'intersection sans vérifier les hypothèses (par ex. composantes primaires vs immergées) conduit à une mauvaise utilisation.

Conséquence

La multiplicité gouverne les questions d'équirégularité, contrôle l'asymptotique des longueurs et degrés, et intervient dans des critères de régularité et de Cohen–Macaulay : multiplicité 1 signale souvent la régularité.

Inversion

Inversement, des conditions de multiplicité minimale (par ex. multiplicité égale à la dimension d'enrobage moins la dimension plus 1) caractérisent des classes particulières de singularités plutôt que la mesure générale de concentration.

Limite

Définie lorsque des polynômes de Hilbert (ou Hilbert–Samuel) existent : typiquement pour des modules de type fini sur des anneaux locaux noethériens et des idéaux primaires. Ce n'est pas un simple comptage de racines et dépend du module et de l'idéal choisis.

Tension sémantique

La multiplicité se trouve en tension avec les multiplicités d'intersection, les multiplicités algébriques de racines et la longueur ; chacun compte une forme de redondance sous des hypothèses finies et géométriques différentes.

Synthèse

La multiplicité est le coefficient asymptotique principal qui capture la croissance des longueurs ou degrés au voisinage d'un point ; en tant qu'invariant numérique affiné, elle diagnostique la gravité d'une singularité et se lie aux propriétés de dimension et de régularité.