Invariante numérica (a menudo multiplicidad de Hilbert–Samuel) que mide el coeficiente principal de un polinomio de Hilbert o la tasa asintótica de crecimiento de las longitudes de M/I^nM para un ideal I m-primario en un anillo local; cuantifica la concentración algebraica local o el orden de una singularidad.

Principio

Calcular la función de Hilbert–Samuel n ↦ longitud(M/I^nM) para n grandes; el término principal del polinomio, normalizado por la factorial de la dimensión, da la multiplicidad. La multiplicidad detecta cuán ‘grueso’ es un esquema o módulo en un punto.

Demostración

En un anillo local regular la multiplicidad del ideal maximal es 1. Para la singularidad de curva plana y^2 - x^3, el anillo local tiene multiplicidad 2 (grado mínimo de los términos), mientras que un nudo y una cúspide presentan multiplicidades distintas que reflejan su orden de singularidad.

Aplicación incorrecta

Confundir la multiplicidad de Hilbert–Samuel con la multiplicidad algebraica de una raíz de polinomio o con multiplicidad de intersección sin comprobar hipótesis (por ejemplo, primarias frente a componentes incrustadas) conduce a un uso indebido.

Consecuencia

La multiplicidad gobierna preguntas de equisingularidad, controla la asintótica principal de conteos de longitudes y grados, y aparece en criterios de regularidad y Cohen–Macaulay: multiplicidad 1 suele indicar regularidad.

Inversión

A la inversa, condiciones de multiplicidad mínima (p. ej. multiplicidad igual a dimensión de embebimiento menos dimensión + 1) caracterizan clases especiales de singularidades en vez de medir la concentración genérica.

Límite

Se define cuando existen polinomios de Hilbert (o Hilbert–Samuel): típicamente para módulos finitamente generados sobre anillos locales noetherianos con ideales I-primarios. No es un simple recuento de raíces y depende del módulo y del ideal elegidos.

Tensión semántica

La multiplicidad está en tensión con las multiplicidades de intersección, multiplicidades algebraicas de raíces y la longitud; todas cuentan formas de redundancia pero bajo hipótesis finitas y geométricas distintas.

Síntesis

La multiplicidad es el coeficiente asintótico principal que captura cómo crecen longitudes o grados en torno a un punto; como invariante numérico refinado diagnostica la severidad de una singularidad y se relaciona con dimensión y regularidad.