Eine numerische Invariante (häufig Hilbert–Samuel-Multiplizität), die den führenden Koeffizienten eines Hilbert-Polynoms bzw. die asymptotische Wachstumsrate der Längen von M/I^nM für ein m-primäres Ideal I in einem lokalen Ring misst; sie quantifiziert lokale algebraische Konzentration oder Ordnungsstärke einer Singularität.

Prinzip

Die Hilbert–Samuel-Funktion n ↦ Länge(M/I^nM) für große n auswerten; der führende Polynomterm, normiert durch die Fakultät der Dimension, ergibt die Multiplizität. Multiplizität erkennt, wie ‚dicht‘ ein Schema oder Modul an einem Punkt ist.

Demonstration

In einem regulären lokalen Ring ist die Multiplizität des maximalen Ideals 1. Für die ebenen Kurvensingularität y^2 - x^3 hat der lokale Ring Multiplizität 2 (niedrigster Grad der Terme); Knoten und Spitze haben unterschiedliche Multiplizitäten je nach Singularitätsordnung.

Fehlanwendung

Die Hilbert–Samuel-Multiplizität mit der algebraischen Vielfachheit einer Polynomwurzel oder mit Schnittvielfachheiten zu verwechseln, ohne die Voraussetzungen zu prüfen, führt zu Fehlern.

Konsequenz

Multiplizität steuert Equireguläritätsfragen, bestimmt führende Asymptotik von Längen- und Gradzählungen und erscheint in Kriterien für Regularität und Cohen–Macaulay-Eigenschaften: Multiplizität 1 deutet oft auf Regularität hin.

Umkehrung

Umgekehrt charakterisieren Minimalitätsbedingungen der Multiplizität spezielle Klassen von Singularitäten statt der allgemeinen Konzentrationsmessung.

Abgrenzung

Definiert wenn Hilbert- oder Hilbert–Samuel-Polynome existieren: typischerweise für endlich erzeugte Module über noetherschen lokalen Ringen mit I-primären Idealen. Sie ist kein naiver Wurzelzähler und hängt von Modul und Ideal ab.

Semantische Spannung

Multiplizität steht im Spannungsverhältnis zu Schnittvielfachheiten, algebraischen Wurzelvielfachheiten und Länge; alle messen Redundanz, jedoch unter unterschiedlichen Endlichkeits- und geometrischen Voraussetzungen.

Synthese

Multiplizität ist der führende asymptotische Koeffizient, der das Wachstum von Längen oder Graden nahe einem Punkt erfasst; als verfeinertes numerisches Invarinat diagnostiziert sie Singularitätsstärke und steht in Beziehung zu Dimension und Regularität.