Suprémum des longueurs n de chaînes strictement croissantes d'idéaux premiers p0 ⊊ p1 ⊊ ... ⊊ pn aboutissant à l'idéal premier donné p ; c'est la codimension de Krull locale de p dans le spectre, une mesure locale de la dimension.

Principe

Compter le nombre maximal d'inclusions strictes d'idéaux premiers se terminant en p. La hauteur est une expression locale, d'ordre, de la dimension qui reflète combien d'étapes premières indépendantes se trouvent sous p.

Démonstration

Dans k[x,y] avec k corps, un idéal maximal (x-a,y-b) a hauteur 2 car on peut former 0 ⊊ (f) ⊊ (x-a,y-b) avec jusqu'à deux inclusions strictes correspondant à la dimension de Krull 2 ; l'idéal nul a souvent hauteur 0 dans un domaine intègre.

Mauvaise application

Confondre la hauteur avec la dimension de l'anneau quotient R/p ou avec la codimension dans une immersion géométrique peut induire en erreur : hauteur(p) est la codimension de p dans Spec(R), pas nécessairement la dimension d'un plongement ambiant.

Conséquence

La hauteur organise les idéaux premiers selon leur dimension locale ; les idéaux maximaux réalisent la dimension de Krull de l'anneau. Contrôler les hauteurs est central en théorie de la dimension, décomposition primaire et critères de régularité.

Inversion

Le concept dual est la dimension de la localisation en p (dim R_p), qui mesure les longueurs de chaînes de premiers contenus dans p en partant de p ; comparer hauteur(p) et dim R/p donne des points de vue locaux/ globaux complémentaires.

Limite

S'applique aux idéaux premiers d'anneaux commutatifs unitaires ; en contextes non commutatifs les chaînes premières peuvent se comporter différemment. La hauteur est une propriété des idéaux premiers, pas directement d'idéaux arbitraires sans passer aux premiers associés.

Tension sémantique

La hauteur est souvent en tension avec les notions de codimension, dimension de Krull et degré de transcendance en géométrie ; une même valeur numérique peut refléter des phénomènes algébriques ou géométriques différents selon le contexte.

Synthèse

La hauteur d'un idéal premier mesure le nombre maximal d'inclusions premières strictes sous ce premier, fournissant un indicateur de dimension ponctuelle dans le spectre et reliant conditions de chaînes algébriques et codimension géométrique.