Definición
El supremo de las longitudes n de cadenas estrictamente crecientes de ideales primos p0 ⊊ p1 ⊊ ... ⊊ pn que terminan en el ideal primo dado p; equivalente a la codimensión de Krull de p en el espectro, ofrece una medida local de dimensión.
Principio
Principio
Contar el número máximo de inclusiones estrictas de ideales primos que acaban en p. La altura es una expresión local, ordenada, de dimensión que refleja cuántos pasos primos independientes están por debajo de p.
Demostración
Demostración
En k[x,y] con k un cuerpo, un ideal maximal (x-a,y-b) tiene altura 2 porque existen cadenas como 0 ⊊ (f) ⊊ (x-a,y-b) con hasta dos inclusiones estrictas, coherentes con la dimensión de Krull 2; el ideal cero suele tener altura 0 en un dominio íntegro.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Confundir la altura con la dimensión del anillo cociente R/p o con la codimensión en una inmersión geométrica puede llevar a errores: altura(p) es la codimensión de p en Spec(R), no siempre la dimensión del espacio embebido.
Consecuencia
Consecuencia
La altura organiza los ideales primos por su dimensionalidad local; los ideales maximales alcanzan la dimensión de Krull del anillo. Controlar alturas es esencial en teoría de la dimensión, descomposición primaria y criterios de regularidad.
Inversión
Inversión
El concepto dual es la dimensión de la localización en p (dim R_p), que mide las cadenas de primos contenidas en p; comparar altura(p) y dim R/p da puntos de vista locales y globales complementarios.
Límite
Límite
Se aplica a ideales primos en anillos conmutativos con unidad; en contextos no conmutativos las cadenas de primos pueden comportarse de otro modo. La altura es una propiedad de ideales primos, no directamente de ideales arbitrarios sin pasar a primos asociados.
Tensión semántica
Tensión semántica
La altura compite con nociones de codimensión, dimensión de Krull y grado de trascendencia en contextos geométricos; un mismo valor numérico puede indicar fenómenos distintos según el contexto.
Síntesis
Síntesis
La altura de un ideal primo mide el número máximo de inclusiones primas estrictas bajo ese ideal, sirviendo como indicador puntual de dimensión en el espectro y conectando condiciones de cadena algebraicas con codimensión geométrica.